首页 趣味数学故事正文

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-14 18:04:40 85 0 方程

一元二次方程帮助人类插上双翅

一元二次方程与二阶微分方程的联系不是巧合:在牛顿第二运动定律里它们被描述为力和加速度之间的密切联系。当牛顿用公式阐述这个定律时,他主要考虑的是刚体的运动。然而,他很快认识到这个定律能被应用到像水和空气这样流体的运动中。特别是,应用牛顿定律可能找到流体速度和压力之间的关系。这些定律的复杂形式(被称作纳维-斯托克斯方程和相关的偏微分方程)用超级计算机解出从而用于天气预报。然而,一个特殊解,对许多类型的流体流动都是适用的,在飞行基本原理的发现中是关键要素之一。这个结果的价值是不可估量的,并和被称为伯努利方程的一元二次方程有关联。

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

伯努利家族产生了许多数学家,他们各自并且一起在数学上做出了大量的贡献。其中之一,丹尼尔·伯努利,观察了空气运动的方式。他发现,如果用速度 v 和压力 P 来观察空气的稳定流动,一个空气粒子在高度 h 运动,那么有不变常量的 E(空气粒子的能量)的下面简化等式:

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

需要注意的是,假定 h 是不变的,那这个公式说明如果 v 增大则 P 减小,这样的效应称为伯努利定律(Bernoulli's principle)。这是应用牛顿运动定律的直接结果,只适用于光滑运动的、不太粘的流体。然而,这个一元二次方程非常准确,足以说明飞机机翼上空气流动的情形和飞机为什么会飞——高速气流产生低压,从而起到了上升的力量。

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

许多简单的实验能够揭示伯努利原理(或称伯努利定律)。最简单的办法是把两个球挂在几公分的棉线上。然后在它们之间吹风,看看发生了什么。

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

根据伯努利原理,它们不是被吹分开来,相反的,它们移动到了一起。

手机的诞生离不开二次方程

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

虚数是一个非常重要的数学概念,它扩展了从实数系到复数系。因此,实数域里无解的方程 x²=-1,而在复数域中,i 被用来表示一个解,所以 i²=-1,而 i 被称为虚单位数(Imaginary unit)。请注意所以 -i 是另一个解.

历史上,复数的发现源于三次方程的根的表达式,而不是二次方程。最令人困惑的是,使用这些神秘的虚数,就有可能解出三次方程。事实上,在其计算过程中虚数的引入被证明是真正有效的解决办法。而后用实数和虚数组合为的复数,最终能足以解决所有的数学问题。

虚数 i 就出现在数学上最漂亮的公式中——欧拉恒等式,如下所示:

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

诺贝尔物理学奖得主费曼称这个关系式是数学中最奇妙的公式,因为它联系数学中最重要的数学常数 0、1、π、e 和 i。其实它还有一个更常用的等价形式,而经由复数连接了指数函数 e^x 和三角函数 sin(x),cos(x),就是由欧拉在 1748 年提出欧拉公式。

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

欧拉发现两个三角函数是振荡项,周期性地重复变化。这个公式提供了一种视角,理解微分方程怎样模仿阻尼摆,阻尼摆有一个关于项 e^(wt),并且有振荡解。如果 w 是虚数,或复数,欧拉的公式允许指数项作为三角函数 sin(t) 和 cos(t) 的组合表示出来。

虚数在物理世界的另一个很重要的应用来自量子理论。这个理论涉及微观现象,微观尺度下物理量(比如电子或光子能量)表现得像粒子和振荡波。如同我们所见,这样周期的震荡行为能用 i 来描述。量子理论的基本方程被用来计算一个物理量的波数(处于特殊位置的概率)是薛定谔方程式。这是一个包含 i 的偏微分方程, 可写作下面式子:

一元二次方程不仅帮人类插上翅膀,而且手机的诞生也离不开它

这个方程有许多实际的应用。通过使用它来预测半导体中电子和空穴的运动,就有可能设计出具有大量元件的集成电路,而这种电路是许多现代技术的核心,包括电脑、汽车、光盘播放器和手机。手机通过将你的语音转化为高频无线电波来工作,而这些电波的行为可进一步通过使用含有 i 的公式计算出来。于是我们有理由说,没有这个简单的二次方程 x²+1=0,手机永远不会被发明出来。


免费下载:微信扫码关注网站官方公众号【中小学趣味数学 qwshuxue
趣味数学二维码
1、回复 “101”免费领取《【小学奥数】学er思内部题库word可打印
2、回复 “102”免费领取《【记忆力教程】快速高效学习教程
3、回复 “103”免费领取《一分钟速算教程
4、回复 “104”免费领取《Top 32经典英文启蒙绘本PDF+MP3
5、回复 “105”免费领取《儿童英语绘本195本【PDF版】
6、回复 “106、107、108”免费领取《更多神秘礼物……
版权说明

本文仅代表作者观点,不代表本站立场。
本文系作者授权发表,未经许可,不得转载。

本文链接:http://www.zxxedu.cn/38380.html

发表评论

评论列表(0人评论 , 85人围观)
☹还没有评论,来说两句吧...