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二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-14 18:08:44 75 0 方程

二次方程与黄金比例

美国的纸张制作使用的是另一种长宽比不同的标准,叫做“foolscap(大页纸或大裁)”。为了探究这种做法的原因,我们需要再次回到古希腊去解决另一个二次方程。一元二次方程在给毕达哥拉斯学派带来困惑与羞恼、以及第一次数学危机之后,又展现了其在实际生活中的用途——黄金比例。这个数学常数直到现在电影布景、艺术品、大自然中有很多神奇的例子,展示出本身的魅力与实用。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

让我们从矩形开始,裁去一个以矩形宽度为边长的正方形。假设矩形的长为 1、宽为 x,那么正方形的边长为 x。将这个正方形裁去之后,我们得到一个较小的矩形,其长为 x、宽为 1-x,到目前为止,一切都显得很抽象。但是古希腊人并不这样想。他们认为,长宽比最具美感的矩形(即所谓的黄金矩形)应该是大、小矩形的构成比例相同的矩形。为了使这个假设成立,我们得到这样一个等式:

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

这又是另一个一元二次方程:一个有着极广泛应用的等式,它的正数解为:

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

x 的这个数值被称为黄金比例,通常用希腊字母 φ 表示。

黄金比例在视觉比例上所具有的美感启发了各领域专家和设计师,这在数学历史数学文化上是独一无二的。

另外,x²+x=1 这个二次方程也在研究兔子种群数量的实验、向日葵花籽和植物茎干上叶子的排列规律的实验中出现。它们都是通过斐波纳契数列同黄金比例联系起来的,斐波纳契数列如下:

在斐波纳契数列中,每一个数(从第三个数开始)都是前两个数字的和。在 15 世纪,意大利数学家斐波纳契在撰写《计算之书》中,试图预测未来兔子种群数量的时候发现了这个数列。如果你算出每个数字与其后数字的比,你就会得到这样一个数列:

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

随着斐波那契数列的增加,相邻两个数之比将会越来越接近黄金比例 φ。

在寻找上面二次方程的两个解的过程中,我们实际上也可以找到斐波纳契数列的通项。如果 Fn 代表数列中的第 n 个数,F0=1,F1=1,那么 Fn 可以由以下通项得到:

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

现在,让我们暂停下,一并欣赏下体现了黄金比例的帕台农神庙,还有遵循斐波纳契数列的规律的向日葵花盘之美,再继续探索二次方程的魅力。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

圆锥曲线将二次方程与恒星运动联系起来

古希腊的数学家对圆锥体进行了深入研究。公元前约 200年,阿波罗尼奥斯所著《圆锥曲线论》八卷更是与《几何原本》一样代表古希腊几何学的最高水准。莱布尼茨盛赞:“了解阿基米德和阿波罗尼的人,会对后世伟人成果就不会那么钦佩了。”

下图就是两个典型的圆锥体。可以看到圆锥体的上下半部都可以视为手电筒的光线播。当手电筒照到一个平面(比如墙壁),那么在移动手电筒时你会看到不同的投影。这些投影与平面相切得到的曲线就叫做圆锥曲线。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

▲ 圆锥的横截面可以是圆形、椭圆、抛物线或双曲线(图自维基)

如果我们沿着不同的角度将圆锥体切割,也同样可以得到这样的曲线。古希腊人系统研究了这些曲线,然后意识到它们可以被分为四类。如果水平相交,得到一个圆(circle);稍微倾斜点角度,则可以得到椭圆(ellipse);沿着平行圆锥的母线切割,得到抛物线(parabola);如果采用垂直截面,则会得到双曲线(hyperbola),如上图所示。

值得注意的是,在平面通过圆锥的顶点的时候,还会存在交线为一条直线、一个点或两条相交直线退化的特殊情况。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

▲ 平面通过圆锥的顶点时退化情况

圆锥曲线在这篇文章中出现,是因为这四种曲线都可以由二次方程表示。假如(x,y)表示平面上的一个点,用二次方程表示 x 与 y 之间的关系,我们可以得到下面几个式子:

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

这些曲线自从古希腊就数学家并被广泛研究,但除了圆以外,其余的曲线似乎也没有什么实际应用。然而,在 16 世纪,圆锥曲线却改变了世界!它与二次方程之间的联系帮助人类认识了宇宙运作的方式。

在文艺复兴时期,那些深邃睿智的思想家们开始用不同的方式来思考世界,哥白尼就是其中一位!他之所以名垂青史,是因为他提出了地球是围绕太阳运转的,并且他认为地球运行的轨道是圆形的——一部分原因是它非常接近圆形,也因为圆是最完美的曲线,它高度对称。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

从这之后,人们一直认为轨道是圆形的,直到有一天,开普勒运在计算火星运行轨道时,用第谷·布拉赫的详细观测数据发现了哥白尼理论的预测结果和实验数据的差异。1605年,开普勒最终发现,行星绕着太阳运行的轨道不是圆形,而是椭圆。应用此理论和观测数据完美吻合。并且在法向终于,圆锥曲线在被希腊人被发现的 1500 年后,才进入了研究的全盛期。一些天体,例如某些彗星,被发现沿着双曲线轨道运动。开普勒的这些非凡的发现开辟了现代的世界观。

二次方程与黄金分割、圆锥曲线的联系

▲ 伽利略望远镜光学图(上图)与牛顿望远镜光学图(下图),图自维基

二次方程不仅能描述行星围绕太阳运行的轨道,而且给出了更细致观察它们的方法。望远镜的发明进一步促进了天文学的发展。伽利略使用望远镜观察了木星的卫星和金星的相位,这两者的结果都进一步验证了哥白尼理论的正确性。随后,大型反射式望远镜登场,继续探索宇宙奥秘。近年来,我们使用巨型射电望远镜来收听和发送可能被潜在的外星人所接收的讯息。伽利略望远镜使用的镜头形状是由两条相交的双曲线构成。由牛顿发明的反射望远镜有一个镜面,它的每个截面都呈抛物线形状!巨型射电望远镜和剃须镜的碗状部分,卫星天线的铁盘,它们都是抛物线形状。毫无疑问,二次方程是现代通讯的核心。


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