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一元二次方程毫无作用吗?了解它的重要性与用途

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-14 18:10:26 78 0 方程

很少有一个数学公式会同时引起国内各路媒体的关注,更难成为英国议会辩论的主题。但是在 2003 年,我们在中学时期就学过的、考过的二次方程却是一个例外。

所有争议的起点

这一切始于一次英国全国教师联盟的会议上,数学上这个二次方程成为了众矢之的,它被批判为数学家强行施加给无辜的、毫无戒备的学生们进行残酷折磨的典型案例。

这个奇怪的指控促使二次方程成为了当时黄金时段的电台节目的讨论主题,数学家在节目中无奈接受咄咄逼人采访者的质疑。甚至一贯严肃的英国泰晤士报甚至在头条位置有文章指出,一元二次方程是毫无用处的、数学也是无用的,并且绝大多数人并不想学习数学,浪费宝愧的时间。

那数学教育将会走向何处?数学家真的是用一元二次方程折磨国家未来的小花朵、恐吓他们幼小心灵的邪恶怪物吗?这些当然不是。在人类发展的历史过程中,每每遇到难题时,通常就需要用到数学作为工具来解决问题,而二次方程的重要非比寻常。

一元二次方程毫无作用吗?了解它的重要性与用途

一元二次方程,这个重要的数学概念对刚刚接触它的人或许犯怵,但这并不是它的错。事实上, 二次方程不仅在我们所知的人类文明的整体中发挥了关键的作用, 而且在可能探测到其他外星人的文明, 甚至像看卫星电视这样重要的现代活动中都扮演着举足轻重的作用。此外,除了圣经,还有什么能够被认为对生命有着如此重大的影响呢?简单来说,在现实中,二次方程式影响到你的衣食住行,甚至可能拯救你的生命。

巴比伦人数学中的一元二次方程

这一切都始于大约公元前三千年的巴比伦人,他们是世界上最早的文明之一,在很多领域,如农业、灌溉和写作上取得了伟大成果。他们绘制出了太阳、月亮和行星运行的轨迹图,并将它们记录在粘土片上,这些成果我们仍然可以在大英博物馆里所见。巴比伦人赋予我们现代文明里很重要的角度的概念。由于计算上的小错误,他们把一个圆周划分成 360 份,每一份代表一年中的一天。同时,他们也建立了收税制度,这也是巴比伦人需要解一元二次方程的重要原因之一。

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▲ 巴比伦人记录9倍乘法表的楔形文字板的正面和背面

让我们来假设你是一个普通的巴比伦农民,在所拥有农场某个地方有一块正方形田地,可以在此种庄稼。那么,你可以种多少庄稼呢?如果你将土地的边长增大一倍,会发现可种植的庄稼量会变为原来的四倍,其原因是,可种植的庄稼量和土地面积是成比例的,也就是和边长的平方成比例。用数学语言来说,假设 x 为土地的边长,m 是你可以在这一块正方形土地上单位面积可以种植的庄稼量,c 是你总共可种植的庄稼量,那么可得公式如下:

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这就是我们的第一个二次方程,朴素简单,却又熠熠生辉。二次方程和面积像家族中的兄弟姐妹一样紧紧联系在一起。但是,此时我们并不需要解决任何问题——直到每年颁布税收法令的时刻来临。税务官来啦!他严肃宣言:“你必须给国王上缴 c 重量的庄稼以便来缴纳你农场的税收。”农民现在就陷在困境里了:他需要开垦多大的土地来种植对应数量的庄稼呢?事实上,我们可以很容易就解出答案:

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如何算出 x ,也就是求某个数的平方根?这样的数学问题放在现在,即便是最简单的计算器也是轻而易举。但是对五千年前的巴比伦人来说却是个大问题。不过他们找到了一种逐次逼近法来得到近似值,该方法与现代计算机用来解决比二次方程更难的问题的算法(称为牛顿-拉夫逊方法,Newton-Raphson method)相同。

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现在,我们延伸到更特殊情况,因为并非所有的土地都是四四方方的。假设这个农民有一块形状由两个三角形组成稍微复杂点的土地(如上图所示)。对特定的 a 与 b,农民在这块地上可以种的庄稼量为下面等式:

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这和我们平时常见的等式相差无几了,但对当时的人并非易事。然而,聪明的巴比伦人又神通广大地解出来了!首先我们在等式左右同时除以 a 并整理得到式子:

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然后,用配方法化成左侧为完全平方形式:

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与上式结合,得到

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现在这个等式就可以通过求平方根解决了。答案就是著名的求根公式

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整理之后即是:

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但请注意,这个公式更常见的是 -4ac 而不是 4ac,因为一元二次方程通常为是这样的形式 ax²+bx+c=0。

众所周知,求平方根运算可以得到一个正数和一个负数,这也使得一元二次方程有两个解。想想有多少数学问题只有唯一解,你就会觉得一元二次方程有多神奇了!

我们现在得到的结论通常都是怎样求解一元二次方程在实际教学中的重点内容了,这也是记者们采访数学家时都关注的话题。仅仅从 a,b 和 c 的赋值就得到两个答案这一点就可以提出无数个问题,但这并不是数学所关心的话题。得到一个标准公式仅仅只是漫漫长路中的第一步。我们不由得提问,这个公式意味着什么;它可以带我们探索宇宙中的哪些奥妙;得到一个公式真的很重要吗?现在让我们来看看这个公式还将会带给我们什么。

令毕达哥拉斯学派恐惧的发现

现在让我们穿越回到一千多年前的古希腊,看看他们对一元二次方程所做的研究。古希腊人是杰出的数学家,他们做出了很多我们现在都还在运用的数学结论。他们感兴趣解决的方程之一就是(简单的)一元二次方程:x²=2。

他们知道这个方程有解,即是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形的斜边长。

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这来源于毕达哥拉斯的定理:如果一个直角三角形的两个直角边分别为 a、b,则斜边 c 的长度为 √(a²+b²)。如果令 a=b=1,且 x=c,则 x²=2。因此,x=√2。

那么,在这个例子里 x 究竟等于多少?或者,那个古希腊人曾问过的问题——x 是个怎样的数?古希腊人为什么对这个问题这么重视呢?原因在于他们惯有的对比例的敏感性。他们认为所有的数都能用整数之比来表达。确切来说,这意味着所有的数都是形式 a/b 的分数(a、b 均为整数),比如 1/2, 3/4 和 355/113。于是自然而然地,他们认为 √2 也是一个分数。然而,令他们十分震惊的是,事实并不是这样。事实上,它等于下面结果:

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这里的“…” 意味着 √2 的小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环。

√2 可能是第一个被发现的无理数(irrational number,也就是说,它不是分数或有理数),其他的无理数例如 √3、π、e 以及绝大多数的数。而在当时的古希腊,√2 不是有理数这一发现同时引起了巨大恐慌,传说发现者毕达哥拉斯学派的希帕索斯被同派投入大海淹死了。无理数的发现使得人们对数的认识更进一步,但直到十九世纪,数学家才找到比较系统的方法来研究这一类数字。

简单折纸带来的重要比例

√2 完完全全不是一个晦涩难懂的数字,相反,生活中它的应用极其普遍,比如 A4 纸的长宽比。在欧洲,纸张均是用 A 系列的标准制作的,A0 是面积最大的,有 1m²。A 系列的纸张尺寸之间有很紧密的联系。我们将一张 A1 纸沿着它较长的那条边对折,就可以得到 A2 纸,再次对折,就可以得到 A3 纸,再次对折,就是 A4 纸。A 系列的纸都被设计成长宽比相同的纸,也就是说,每一种尺寸的纸张都有相同的形状,可见下图左图所示(图自维基)。

一元二次方程毫无作用吗?了解它的重要性与用途

现在我们可以研究这个长宽比到底是多少。假设一张纸张 x、宽 y,现在将它均分为两张长为 y、宽为 x/2 的纸(如上图右图所示)。

第一张的长宽比为 x/y,第二张颜色较深是 y/(x/2), 或 2y/x,使两者相等,我们得到 x/y=2y/x。即是下面等式:

一元二次方程毫无作用吗?了解它的重要性与用途

看吧,这便是又一个二次方程!幸运的是,它可以转化为我们已经研究过的情况,我们可以解得 x/y=√2。

这个结果可以很容易得到验证,找到任何一张 A4 纸(A3 或者 A5 纸亦可)测量它的长度与宽度就可。此外,我们还可以算出每张纸的面积。A0 纸张的面积 A 可由下面公式得出:

一元二次方程毫无作用吗?了解它的重要性与用途

我们已知 A=1m²,所以我们立即可以得到这个二次方程(其中 x 是 A0 纸的长边):

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因此我们可以得到,A2 纸的长边为 x/2=59.46cm,请读者自行思考原因。A4 纸的长边为 x/4=29.7 cm,读者可以在 A4 纸张上自行验证上面的结果。


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