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数学漫步:复平面上变换、曼德博与茱莉亚分形集合

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-16 17:10:25 82 0

数学漫步:复平面上变换、曼德博与茱莉亚分形集合

(观看相应的视频:第六章:复数,续)这章通过在复平面上变换的动画演示加深人们对复数概念的直观感觉。

一个变换 T 是一个操作把对于每一个平面内的点,也即复数 z 与另一点 T(z) 联系起来。为了展示变换,我们把法国数学家杜阿迪的照片放在平面上,显示它经过变换后的样子:相片上的每个像素都是经过 T 变换得到的。

杜阿迪以自己个照片为例举了下面复平面变换 T 函数的例子。

T(z) = z/2

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每一个数都除以 2,图片被因子 2 缩小了:一个反向变焦(reverse zoom)!我们把这称作位似变换。

T(z) = iz

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由 i 的定义可知,这即旋转四分之一圆周。

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T(z) = (1+i)z

1 + i 的模是 √2,它的辐角是 45°。这是由旋转 45°和 √2 因子位似复合的变换。这叫做相似。这是复数的一大优势:它容许我们把简单相似描述成乘法。

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T(z) = z²

这是我们的第一个非线性变换。通过把相片放在不同点,我们就会了解在复平面上应用平方的效果:模被平方辐角被加倍。

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T(z) = -1/z

这个变换的作用与俗称的反演(inversion)相似。与 0 相对应的原点不能被变换。但是我们约定原点被变换到无穷点。原因很简单:如果一个复数 z 接近 0,即模趋于 0,被变换后的数-1/z 的模—— z 的模的倒数,将趋于无穷大。这个变换有「爆破」的性质,把靠近原点的领域内的点移至很远处,越过萤幕的边界……相反地,离原点很远的点被「压」至原点附近。

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长久以来,学术书籍中都很重视反演,因为它协助我们证明相当漂亮的定理。反转最主要的性质是把圆变换成圆或直线。艺术家利用这种类型的变换,而把它称作失真(anamorphosis)。

T(z) = (az+b)/(cz+d)

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更普遍地,如果我们选取四个复数 a、b、c、d,考虑变换 T(z) = (az+b)/(cz+d)。

这些变换在数学中有好几个名字——Moebius 变换,射影变换,单应变换(homographies)——但是它们首要的性质是把圆变换成圆或直线。这是一种美丽的几何——共形几何的一个变换群。这种几何和非欧几何相似,这已是另一个主题了!

T(z) = z+k/z

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俄罗斯科学家茹科夫斯基在他开拓机翼的空气动力学( the aerodynamics of airfoils )的过程中研究过这个变换。这个图示的意义在于它展示了这种类型变换的基本性质。当然它不再保圆(只有 Moebius 变换保圆),但是在无穷小的范围内它还是保圆的。这些变换叫做全纯的(holomorphic)或共形的(conformal)。希腊语与拉丁语词根「holo」与「con」意思是「一样(same)」,「morph」意思是「形状(form)」:换句话来说,这些变换保持形状。全纯函数(holomorphic functions)的研究在数学中占很重要的地位。

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六、复变动态系统

在第六章的第二部分,杜阿迪介绍了一个重要分支,他也是这个分支的贡献者之一。是关于茱莉亚集合(Julia set) 的研究,这不仅是基于数学上的兴趣,更是由于它出奇地美丽(当然这两点也有关联)。很少见一个强大的数学理论能以如此美丽的形式展示出来。许多艺术家被这些图像激发灵感。

数学漫步:复平面上变换、曼德博与茱莉亚分形集合

开头的想法很简单:我们随意取一个复数 c。考虑变换 Tc(z) = z²+c。它先复数 z 平方然后平移 c。在起始点 z,变换的结果是 z1 = Tc(z)。我们进而可以考虑它的变换结果 z2 = Tc(z1),我们一直这样无穷下去,产生复数序列 zn,每个数都由前一个数变换得到。我们说在变换 Tc 下,序列 zn 处于起始点 z 的轨道(orbit)中。研究序列 zn 的性质,就是要了解 Tc 的动力学(dynamics)。下面一个简单的例子,足以体现数学之美

首先考虑 c=0 的情况。这时变换实际就是重复 Tc(z)= z2。每个复数 zn 的模都是前一个的平方。如果 z 的模小于等于 1,即 z 处于以原点为中心半径为 1 的圆内,那么所有的 zn 都将处于圆内。另一方面,如果复数 z 模大于 1 那么 zn 的模会一直增长趋于无穷。z 的轨道最终将超越萤幕!

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在第一种情况下,我们说轨道是稳定的(stable),它始终处于平面一块有界区域内。第二种情况下它是不稳定的(unstable),它趋于无穷。因此使轨道稳定的点 z 的集合是圆。

更普遍地,对于 c 的每一个值,我们也能得到点 z 两种轨道。变换 Tc 下 z 的轨道是稳定的,如果它始终处于平面一块有界区域内,否则就是不稳定的。使轨道稳定的 z 的点集称作变换 Tc 的填充茱莉亚(filled-in Julia set)。了解这些 Julia 集的结构以及它们如何随 c 变化而变化是解析动力系统(holomorphic dynamical systems)理论的一个重要目的。首先,杜阿迪给我们展示一些在不同的 c 下茱莉亚集合的例子。它们中的一些有奇特的名字,比如「兔子」(你看见它的耳朵了吗?)是在 c= -0.12+0.77i 情况下得到的。

从二十世纪初起人们就知道茱莉亚集合分为两种。它可以像我们展示的例子里一样,是单独一块部分,—用数学家的话来说就是连通的(connected) ——或者它完全不连通,由无穷多个独立的碎片组成,每个的内部都是空集,我们在图像上看不到它!能使我们看见茱莉亚集(茱莉亚集连通)的点 c 的集合称作曼德博集合,为了纪念本华·曼德博。为了了解这集合杜阿迪作;他在证实集合是连通的这方面做出了贡献,他也会很乐意展示给我们集合是局部连通的… …

这章的末尾重在进入绚丽曼德博集合图形之中,欣赏当放大倍数达到了两千亿的数量级后那神奇的世界!

我们可以以两种方式观察这景象。我们可以仅仅欣赏它:它足够美了!或者我们可以问自己一些问题……

比如,颜色的意义是什么?一个古老的定理告诉我们 Julia 集不是连通的(或者说 c 不在 Mandelbrot 集中)当且仅当在变换 Tc 下 0 的轨道是不稳定的。对于给定的 c 值我们观察 Tc 下 z=0 的轨道及其在 n 取值很大时的行为。如果 zn 非常迅速地变大,就意味着 c 不在 Mandelbrot 集中,甚至远离它。如果序列 zn 趋于无穷大,但是更缓慢些,那么 c 仍然不在 Mandelbrot 集中,只是稍微靠近它。c 的颜色取决于序列 zn 趋于无穷的速度,也体现了它离 Mandelbrot 集的「距离」。另一方面如果 zn 处于一块有界区域中,那么 c 在 Mandelbrot 集中,它的颜色也就是黑色。

图中的曼德博色的,但是也有其它着色方法。影片中,我们用「三角不等式」: zn 的模增大超过一确定值时,计算模 A=|zn-z(n-2) |, B=|zn - z(n-1) | 和 C= |z(n-1) - z(n-2) |。

A/(B+C) 是一个取值总在 0 和 1 之间的量,我们用这个数确定一个调色盘上的位置。

为什么有时我们会看到曼德博集合的小的复制个体?解释这个很困难,这也是杜阿迪的重要发现之一:曼德博集合有自相似性,分形集合的一个常见性质。要想对此了解更多,参见这个页面。


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