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基于审美直觉的数学解题

xiawuyouke 趣味数学题 2022-01-17 16:48:03 91 0

基于审美直觉的数学解题

本文作者:殷堰工,[遇见] 感谢殷教授的投稿支持。

学习和研究数学离不开解题,我国古典名著《九章算术》以九卷,246 道题目及其解答术构成篇章,堪称解题研究的开山之作。

如果仅从数学的形态上研究解题,那么隐藏于数学理论之中的美的信息于解题的作用可以说是潜在的、深层的。数学美不仅是一种审美标准,而且还是我们进行创造性思维活动的行为准则。

数学的简洁美、对称美、统一美、和谐美和奇异美等美的特征就是一种诱因,当我们用数学美来审视问题、解决问题时,数学审美活动能启发冲破旧的思维框框,开拓新颖巧妙的解决问题的思路,具有不可忽视的巨大潜力。

基于审美直觉的数学解题

深孚众望大数学家庞加莱说过“逻辑是证明的工具,直觉是发现的工具”,在数学解题的过程中,不仅需要具备一定的逻辑思维,更重要的是要对数学产生一种直觉和审美。具体来讲,美的观点一旦与题目的条件与结论的特征相结合,就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉,从而确定解题的总体思路和入手方向。

因此,数学美既是一种审美标准,即,一旦题目提供的知识信息与解题者的审美情感吻合,那么这种审美效应还可以直接作用于解题,更能在解题中的思维过程中起着宏观调控的作用。这里举两个由美因诱发解题思路的实例:

基于审美直觉的数学解题

例 1:在 △ABC 中,AD⊥BC,D 在 BC 上,已知 ∠ABC > ∠ACB,P 是 AD 上的任一点,证明:AC+BP < AB+PC.

分析:AC、BP(或 AB、PC)联系不大,由此想到补形求完美,试图利用对称转换到一起——在同一个三角形中,则利用相似比例找规律。因为 AD⊥BC,以 AD 为对称轴,取 B 点的对称点 E,这样 BP 和 AB 分别被 PE 和 AE 取代,容易用“三角形任意两边之和大于第三边”得证,解题思路变得“柳暗花明”。

例 2:求 sin10°sin30°sin50°sin70° 的值.

分析: 考虑到 sinα cosα=1/2sin2α,在对称美的感召下,可用它的对称式(对偶式)助解:令 x=sin10°sin30°sin50°sin70°,y= cos10° cos30° cos50° cos70°,于是,问题迎刃而解。

类似地,可求 sin²20° + cos²80° + √3sin20°cos80° 的值。

基于审美直觉的数学解题

德国教育家魏尔曾说:美与对称性紧密相关。对称是最能给人以美感的一种形式,对称性是数学发现与创造中的重要的美学因素。从美的角度进行审视,可以发现内在的本质的特点,解题时一旦题目提供的知识信息与学生的审美情感吻合,就会激起学生的审美直觉,从而迅速、正确地确定解题思路和解题方法。可以认为,数学解题作为一种审美活动,是审美情感支配下对数学美的一种追求。

下面再看一个非常典型的例子:

例 3:已知 x²+y²=1,求证 -√(1+a²)≤y-ax≤√(1+a²).

从审美的角度观察其特征,可得到下面两种简捷证法:

分析 1: 不等式等价于(|y-ax|)√(1+a²)/ ≤1,左边的结构似曾相识,仔细观察发现正好是圆 x²+y²=1 上的点到直线 y=ax 的距离,由于直线 y=ax 过圆心,故(|y-ax|)/√(1+a²)≤1 成立。

分析 2: 由 x²+y²=1 联想到可设 x=cosθ,y=sinθ 则 y-ax=sinθ-acosθ= √(1+a²)sin(θ+φ), 故|y-ax|=|√(1+a²)|sin(θ+φ)≤√(1+a²)

从两种优美的解答中发现,这是以数学审美的眼光去观察,从数学审美的角度去思考,按数学审美的要求去猜测,有意识地用数学审美的眼光观察、思索数学问题的外在形式上的美学特征,然后做出直觉的判断,从而找到问题的解决方案的结果。在这里,数学美的指导思想起了决定性的作用。

必须指出,数学解题是如此,数学创造更不例外,诚如法国著名数学家阿达玛所说:“数学家的美感犹如一个筛子,没有它的人,永远成不了数学家。”数学创造离不开数学美感与审美能力的例子很多,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫建立的概率公理化体系就始于对已知概率知识杂乱无章的不满便是一个明证。

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