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数学漫步:如何理解四维空间中的物体?

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-17 16:55:20 139 0 空间

数学漫步:如何理解四维空间中的物体?

文章转自dimensions-math.org,[遇见]有修改补充,转载请注明.

瑞士数学家路德维希·施莱夫利(1814-1895)介绍了存在于四维空间中的物体,让我们见识到了一系列奇形怪状的四维正多面体。它们有着 24、120、甚至 600 个面!

一、路德维希·施莱夫利与其它人

四维空间的概念并非仅源于一人,而是靠着无数前人的创造力,才得以在数学的领域中发展出完整的架构。伟大的黎曼(Riemann)即属众多维几何的奠基人之一。黎曼将在该系列视频最后一章登场。毫无疑问地,他对于四维空间于十九世纪中叶时期发展成之概念,亦有透彻的了解。

数学漫步:如何理解四维空间中的物体?

▲ 三维多维几何的奠基者:凯莱、施莱夫利和黎曼(自左向右)

但是我们请来了施莱夫利的主要原因是这位开山始祖如今几乎已遭人们遗忘,甚至于数学圈内也不例外。他是最先能领会到此概念的人之一:即便我们身处的空间似为三维,我们仍可作出对四维空间的想像,或甚至证明有关数学四维方面的几何定理。

对他而言,虽然四维空间是一个完全抽象的概念,但在长年的深入研究之后,他一定会觉得处在四维空间比在三维空间中自在多了!他的重要著作为发表于 1852 年的《Theorie der vielfachen Kontinuität》(多重连续体理论),开始了多维空间线性几何的研究。在当时,了解这篇论文的重要性的人可谓寥寥无几。一直到二十世纪初期,数学家们才领会到此篇巨著的意义。

四维空间有许多年一直呈现着一种神秘、不可能的样貌,就算于数学界中也不例外。对一般人来说,四维空间常使人联想到的是充满违反现实情节的科幻小说,或者有时候是爱因斯坦相对论:“第四维不就是时间吗?”。然而,这样子是把数学跟物理上的问题混为一谈。我们将会在短时间内回来讨论这一点。首先,让我们设法像施莱夫利一样地来理解纯粹由想像而生的四维空间吧!

数学漫步:如何理解四维空间中的物体?

▲ 《星际穿越》影片中所呈现的高维空间

二、维度的概念

施莱夫利用黑板来回顾我们在前面章节中学过的几个概念。一条线是一维的,因为我们只须一个数字即可定位某点的位置。这个数字称为该点的横座标,或是 x 座标。如果原点左边取负值,而于右则正。

黑板的平面是二维的,因为如欲确认其中一点的位置,可在黑板上画下互相垂直的两条直线,然后再描述出该点相对于这两根轴的位置即可:它们即为横座标和纵座标(x 座标与 y 座标)。

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对于我们所处于的空间,可再加画第三条垂直于黑板的轴线。我们当然不太可能找得到可以把直线画到黑板外面去的粉笔,但是我们都已经准备好要开始四维世界的旅程了,理当需要神奇粉笔的帮助才行!

如此一来,我们就可以用三个数字(一般设为 x、y 与 z 来描述空间中任何一点的位置,而这就是为什么我们要说空间是三维的原因。当然,我们还会想要继续往下推广,但是想要画出垂直于原本的三条直线的第四条轴是不可能的;这是理所当然的事,因为我们所处于的自然空间是三维的,故我们不应在此寻找四维空间,而是凭借着我们的想像力……。

施莱夫利提出了几种可使我们了解四维概念的方法。就如同向扁平蜥蜴解释三维空间一般,在这可用上的解释方法也不止一种。透过多个不同方法的组合,我们便得以一览四维空间。

第一种方法是最实际的一种。我们直接规定四维空间内任意一点只不过是四个数字的集合: x、y、z、t。这种方法的缺点是很难用可视化展示。不过,这种方法完全符合逻辑,并且数学家所接受。透过此法,我们就可以参考二维与三维空间,尝试如法炮制地给出各种四维空间之物体的定义。例如,复制空间内一平面的定义,我们可以定义一个(超)平面为一组点集,其所有点的座标 ( x , y , z , t )皆满足型如 ax+by+cz+dt=e 的线性方程。在这种定义底下,我们就可以发展出一整套符合逻辑的几何、证明定理等等。事实上,这是唯一可以严谨地处理高维空间的方法。但该视频并不以“过度严谨”为目的,而是旨于“可视化展示”出四维空间,并且解释一些数学家对它的直观想法。

施莱夫利接着给出一种“类推”的解释。其构想是:认真地观察一、二与三维空间,注意其中某些现象,然后假定这些现象在四维空间中仍成立。此过程颇为困难,且并不完全适用于所有情况。一只离开了自己的平面国度,进入了三维空间的蜥蜴定要做好遇到惊喜的心理准备,而需要一段时间适应。对于藉由“类推”的方法,进入了四维空间的数学家也是如此。施莱夫利以线段、等边三角形、正四面体为例。我们发现到这些物件之间存在着某种类推关系,而毫无疑问地,正四面体在某些方面上是由将等边三角形推广到了三维空间的情形。

那么,将正四面体推广到了四维空间的东西又是什么呢?

线段有两个顶点,属于一维空间。三角形有三个顶点,属于二维空间。四面体有四个顶点,属于三维空间。不禁使人想像:此序列将会继续发展下去,而存在着这么一个四维物件,它有着五个顶点,延续了这一序列。我们可以发现:三角形和四面体的各双顶点之间皆由一条边所互相连接。若我们先不在意绘制图形所在的空间,而尝试着把五个顶点两两相连,那么我们就会发现需要十条边才行。然后,自然而然地,我们会试着在每三个顶点间都配置一个三角形。我们同样地会发现需要十个三角形。接着,我们继续在每四个点间都配置一个四面体。我们还能完全地弄清这个东西的形态……我们已知道它的顶点、边、面以及三维面,但其真面目尚朦胧不清。

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数学家使用了组合学知识来描述已知之事:我们知道是哪些边连结了哪些顶点,但我们仍然不能由几何的观点看到此物件。这个被刚我们猜想而出,而将线段、三角、四面体的序列延续下去的物件,被称作单纯形(Simplex, 或单体)!

例如,0-单纯形就是点,1-单纯形就是线段,2-单纯形就是三角形,3-单纯形就是四面体,而4-单纯形是一个五胞体。

三、施莱夫利与多面体

多边形是处在平面上,而多面体则是存在于一般的三维空间里。四维(或更高维)空间中类似的物体一般而言被称为正多胞形,虽然它们常直接被称为多面体。

柏拉图讨论了普通三维空间内的正多面体,而施莱夫利则描述了四维空间内的正多面体。其中,有些多面体的性质十分丰富,而本片欲将这些多面体展示给处于三维空间中的观众们,采用的方法则与本片向蜥蜴们展示柏拉图体时所使用的方法相同,而非像是在展示一盆花或是一本书(无可否认地,要向您展示四维空间的花朵对本片的作者们将十分地困难。真可惜!)。这里我们有施莱夫利最美丽的贡献之一:对四维空间中六个正多面体完整且确切的描述。它们皆存在于四维空间中,故它们有着顶点、边、二维面、与三维面。以下将这些多面体的名称与边、面等数量整理成一个表格:

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这将有助于了解它们的具体形象。参见这里或这里 或是这里以获得更多四维空间中的多面体之相关资料。

四、“看见”四维

我们怎么在四维空间中“看”到东西?不幸地,我们无法给你一副 4D 眼镜,但是还有其它方法可循。

▌截面法

我们跟蜥蜴起初的时候一样地开始。我们正处在我们的三维空间中,而我们想像有个东西从四维空间中经过,然后渐渐地穿过我们的三维空间。

此截面正在我们的空间中,且它现在是一个变形中的多面体,而不是一个变形多边形。藉由观察此截面之形状渐渐地变化,直至消失不见为止,我们就可以得到对于四维多面体的形状的一种直觉。用这种方法要认出该物体并不容易,而对于蜥蜴们来说更是困难。

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在影片中我们见到了超立方体、120、600 这三个正多胞体。看它们穿过我们的空间,展示着它们的变形三维多面体截面,令人印象十分地深刻,但却不易了解。

下面为 正600胞体 穿过我们的三维空间之情形。

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由于四维空间不易了解,不妨采用几种相辅相成的方法。

▌成影法

我们于此章中给出的另一个方法几乎比截面法更显而易见。对蜥蜴也可以使用这种方法。这是画家为了将三维的景色在二维的画布上表示出来所采用的技巧。他将景象投影到画布上。举例而言,他可以于物体后面放置一光源,然后观察此物体在画布留下的阴影。物体的阴影只能给出部份的资讯,但我们若把物体置于光源前旋转,然后观察影子变化的方式,我们通常就可以得出对于该物体非常确切的概念。这些都是透视法的艺术。

同理:想像我们想要表现的四维物体正位在四维空间中,而有一个灯源将其投影到我们的三维空间中的画布上。若该物体在四维空间中旋转,影子就会被变形,而我们就能得到对此物体的概念,尽管我们是看不见它的!

首先,我们看到了超立方体。相较于截面法之下,我们能更清楚地看见它。

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再来则是我们认为是施莱夫利最以其为荣的 正24胞体!原因在于这个新出现的物体实在是非常地新奇;与其它多面体不同的是,它并不是由任何一种三维多面体所推广而来的。再者,它有着奇妙的自对偶(self-dual)性质:例如,它的二维面数与一维面数(边数)相同,而三维面数与零维面数(顶点数)也相同。

最后,我们看到了之前已经见过其截面的 120 与 600 胞体。这种新的检视方法让这些实为复杂的四维多面体呈现出了其它的面貌。截面与成影这两种方法各有其所长,但无可否认地,它们并没有把这些美丽的物体所拥有的对称性充分地表达出来。

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