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浅谈几何模型

xiawuyouke 趣味数学题 2022-01-20 11:57:11 128 0 几何

浅谈几何模型

本文作者:刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

几何模型,好像没有什么严格的定义,如果让我说,不妨理解为几何题里常遇到的“套路类型”,闭眼一想,大致包括平行线、全等三角形、等边(等腰)三角形、直角三角形、相似三角形、四点共圆等几种。那么,几何模型除了在解题时出现频率高,还有什么重要性呢?笔者以为有这两个方面:

第一,几何模型中存在着很多关系,比如平行线模型就包括以下关系:

  1. 同位角和内错角相等,同旁内角关系;

  2. 三角形中位线平分两腰;

  3. 平行线分线段成比例。因此可以从平行导出各种结论。

第二,很多几何模型同时存在着定理和逆定理,从另一角度来说,就是往往都同时有判定定理和性质定理,这就能实现数量和图形之间的反复转化,使我们的推理顺利进行。

下面我们通过例题来看看使用几何模型要注意的问题。

问题一:证明面积相等

浅谈几何模型

已知:ABCD 是过平行四边形,EK、GH 分别平行于其两边,且交点 F 恰好位于对角线 AC 上。求证:两部分 FKDG 和 FEBH 面积相等。

这个问题用全等模型很简单,可以一眼看出结论。但是如果因为看见“平行”就贸然用平行线模型(分线段成比例),虽然仍然能够证明,但是就繁琐很多了,可能需要设各个量,再用字母计算。可见,适当选取几何模型,可以极大简化解题过程。

问题二:证明线面垂直判定定理

我们把原题目改造如下,以突出重点。

浅谈几何模型

已知:直线 AB 与平面交于点 A,AB 垂直于 AC 和 AD。AE 是过 A 点的任意直线。求证:AB 也垂直于 AE。

这是立体几何里一个重要的定理,一般的几何书里都有证明过程。本题乍看之下似乎无从下手,但是通过适当构造全等三角形,反复转化边角的相等关系,最终得到结论。可见,如果没有合适的几何模型,就要去构造模型,而构造的方法是添加辅助线。

另外,因为我们要主动构造模型,所以一定要构造那种方便我们证明的模型,比如本题中把 AB 反向延长到 F,并使 AF 等于 AB,就是很重要的一点。按说,直线自然是两端都可以无限延长的,何必向平面另一侧延长?更何必 AF 等于 AB 呢?原因无他,易于利用也。


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