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一本让你尽享数字大餐的小书

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-22 13:50:31 101 0 数字

一本让你尽享数字大餐的小书

万物皆数。—— 毕达哥拉斯

自然数是神奇的,越是发现自然数的更多特性,就越是认可克罗内克的名言:上帝创造了自然数,其余一切都是人为。其实古希腊人已发明了数论,数论比算术更进一步,它不限于计算结果,而是探究自然数的性质,只不过那时没有上帝这个概念。

尤其是那些小的自然数,自然是人们最感兴趣的。最近翻译出版的《数字乾坤》写了与 1—9 有关的故事,这是一种新颖的写法,其新颖之处还在于,它不局限于算术和数论,还包含几何、拓扑、图论、数值分析、混沌、游戏。《数字乾坤》这个非常恰当的书名,想必花费了译者和编辑不少脑筋吧。

《数字乾坤》是一本小清新,也是非比寻常的“菜单”,在做了简短介绍之后,“大餐”上来了: 1 号桌 13 道菜,2 号桌 28 道,3 号桌 22 道,4 号桌 13 道,5 号桌 13 道,6 号桌 11 道,7 号桌 11 道,8 号桌 7 道,9 号桌 10 道。整整 128 道菜,且全都不同!

一本让你尽享数字大餐的小书

该书为我们展现的一个个奇异的数学世界,有些东西数学专业的我略知一二,但重温一下依然觉得不可思议,而且作者在这些内容的基础上做了一定的展开,掺进很多新的内容;还有的“大菜”则是全新的。平均下来每个知识点大约是一页半,这非常符合现在人们快速阅读的习惯。完全可以在紧张或无聊之余,抽空了解一个故事,以获得内心的愉悦。不像某些大部头著作,表面上看似乎很丰富,其实啰唆得很,数学方面的书一般都避开这坏毛病。专著还包含一些结果的论证,但没有多余的话,科普书更是浓缩的精华。这又与上馆子差不多:我们不必研究这些菜是怎么烧出来的,只要口感鲜美;只不过欣赏数学的美对一个人的学问修养要求高一点。

正整数有唯一分解定理,但你知道看上去眼花缭乱的纽结也可以唯一分解为素纽结吗?你知道 9 世纪阿拉伯数学家用有趣的图形覆盖法证明勾股定理吗?由勾股定理出发,还可以得到极为艰深的滕内尔定理及 BSD 猜想。一锅汤表面上漂浮着很多挤在一起的大小不一的小圆,这些小圆的半径满足一个很奇妙的等式,你知道是什么吗?答案都可以在书中找到。

在数字 3、4 上,作者的选择似乎更富意味。除了 1 和 2,大自然是非常青睐 3 和 4 的。3 意味着复杂。“道生一,一生二,二生三,三生万物。”看来老子对复杂性是有所领悟的。3x+1 问题数学家非常感兴趣,然而至今进展极小;另一个让人“崩溃”的是埃及分数问题:对于怎样的既约正分数可以表为 3 个不同的埃及分数(一个正整数的倒数称为埃及分数)?甚至连分子为 4 的情形,数学家也束手无策。这两个猜想分别提出于 1952 年和 1948 年,属于“老大难”问题了。还有一个历史更悠久的是确定所有可以表为 3 个立方数之和与 4 个立方数之和的正整数。这个问题也是极易理解、难得出奇。数论之外的情况也差不多。首先不能遗漏的是著名的三体问题,这是混沌理论的“鼻祖”,还有混沌理论中“周期 3 则意味着乱七八糟”。其中有很多问题值得研究。还有著名的石头、剪刀、布和博罗梅安环(任何两个环都是分离的,三个环却扣在一起)、庞加莱猜想、阿罗选举不可能定理。4 也是这个世界非常喜欢的数字。比如著名的四色定理,反映了平面和球面的本质。而杜奇序列又是初等数学的一个好课题,不需要超出中学的知识,但很巧妙,不太容易做。

其他内容还有米盖尔五圆定理、5 种正多面体(4 维空间有 6 种,5 维及以上都是 3 种)、佩特森图、最优堆积、六度分离、7 种平面基本装饰、七桥问题,还有一个特奇怪的积分实验。四元数和八元数、匹萨定理、生命游戏、E8 群、九树十行问题……这些都很有趣,此处不一一列举。

一本让你尽享数字大餐的小书

这本书贴近大自然,使我们充分看到:大自然的种种模式就是数学的形式。本书还告诉我们,某些有趣的结果有着意想不到的应用。比如由名著《通俗天文学》作者纽康首先发现的本福特定律,可以帮助我们判定作假帐。搞数学的人不陌生的图埃-莫尔斯序列,其实跟如何从一群人中选出实力抗衡的两支队有关。1864 年发明的波塞利亚-利普金连杆,正是利用圆的反演变换,将圆弧运动转化为直线运动,在蒸汽机的发展中起到了重要作用。而在图像处理中的逆问题,即如何从某条与图片相交的直线的平均灰度来求出各点的灰度?这就是 1917 年提出的拉东变换,约 50 年后,由于医学成像技术的发展,拉东变换突然变得很重要:通过测量而重构出各点组织的密度,可以帮助人们发现肿瘤。拉东变换是 CT 和核磁共振的理论基础,这方面的成就获得了好几次诺贝尔奖。本书还提到了 15 世纪朱载堉的 12 平均律,这是中国人对音乐和数学的杰出贡献。

我也算是个“吃货”(尽管是业余的)。美味是厨师对人类的贡献,但数学家更牛,因为菜谱是有限的,在今天大的创新几乎不可能,就像超市里的各种饮料一样,多年来也没什么大变化,最多一点小改进,口味也差不多。而数学是无限的,即使数学家在任何时刻只能得到有限个结果,但这些结果是本质不同的(正如此书的 128 个结果),而且新结果还在毫无节制地增长。“数字菜系”是无穷无尽的。如果再写本《数字乾坤 2》,收入 256 个结果也绝无问题。

我特地去查了下“数”的含义,有十几种之多,很多与命运、谋略有关。中国人所说的“算数”“命数”“变数”,就是这个意思。这跟数学中的数没有任何直接关系。但为什么用同一个字呢?其实还是有点关联的,自然数在人们心目中是具有永恒、神秘的存在,而人们觉得命运往往无法掌控(人生无常),也许为了寻求心理安慰,一定要找一个解释,数与人的命运就这样捆绑在一起了。毕达哥拉斯是西方数论的鼻祖,他说万物皆数,当时知道的东西少,故而也带有一点牵强的解释甚至是迷信性质。后来他的“传人”就将这一切做了适当的分离。到爱因斯坦时代就完全清晰了,在回答“你信不信上帝”这个问题时,爱因斯坦说:“我相信一个展现大自然秩序与和谐的上帝,不相信干预人类命运的上帝。”

爱因斯坦的这句话可以说是对近代以来伟大科学工作的总结。物理学的统一也离不开数。牛顿运动定律和万有引力定律中的 3 条已由牛顿之前的科学家发现,牛顿的牛逼在于他拍板说就这 3+1=4 条,不多也不少!麦克斯韦电磁方程组中每一条也为别人先发现,麦克斯韦的牛逼在于他说就 4 条!而且率先阐明这些方程之间的关系。这简直就像为上帝代言!类似的事欧几里得、爱因斯坦也干过。这种统一成体系的惊心动魄的科学工作,几千年来也不过就几次,可见数在其中的作用是多么重要。在牛顿、欧拉、高斯、哈代、拉马努金、麦克斯韦、开普勒这些大科学家眼里,数本身当然不代表命运,它就是一种和谐美。但当一个人看到了数世界的和谐之美,决定放弃浮躁的生活,远离是是非非,重塑自己的人生,这也算是改变了自己的命运吧。

作为科技出版的一份子,目睹现代科技发展之迅猛,与广大公众接受之相对滞后,我总是有些感慨。现在的小孩能接触到最新款的手机,玩着最新的游戏;在科学普及、科幻方面,以《时间简史》和《三体》为标志,关于宇宙、黑洞、量子的科普图书层出不穷,科幻亦如井喷。一片繁荣是好现象,尽管实际上很多人并没真搞懂宇宙、黑洞、量子,不懂也属正常,要让一个非物理专业的读者通过科普就能完全理解现代科学,本来就是不现实的,科普就像一个引路人,提高人们对科学的兴趣。

但有些现象就有点说不过去了:比如很多数学成绩不错的学生也认为陈景润试图证明 1+1=2,对于现代数学哪怕是初等数学中大量有趣、新颖的结果一无所知,甚至还要否定已有结论(比如不能三等分任意角,物理中也有类似情形)。医学甚至更糟,那些打着爱国旗号力挺中医骂西医的人,一不懂中医,二不懂西医,三没有发展眼光,只要是老祖宗的东西就 OK。没有人生来什么都懂,可怕的不是无知,可怕的是不在乎或不承认无知。所以,不算夸张地说,我所提到的感慨,是关乎国家发达、人民素质的一件大事。

一本让你尽享数字大餐的小书

这儿再说点心里话。自从 20 多年前在书店里看到《时间简史》,我就与湖南科学技术出版社结下了缘。20 多年来,出版社大量引进出版高质量图书,社会反响很好。我敏锐地觉察到,在各大科普书的评奖活动中,很难见到湖南科技翻译图书的身影(湖南科技的原创科普当然也不少)。原因在于,我们大都是在评所谓的“原创科普”。现在国家提出要重视科学,自然也就重视科普,这条路子是很正确的。但只要花点时间多看几部作品便知,目前中国人心浮躁的毛病还未根除,科普水平整体不高,没人写得出《时间简史》《从一到无穷大》《自私的基因》《生命是什么》《哥德尔、艾舍尔、巴赫》……大量翻译引进图书需要一种眼光和魄力,不仅不能评奖,还要付版税,走市场,找合适的译者。多不容易!原创科普反而简单,几个博士写一下,尤其是若能找个院士做顾问,一有头衔就好评奖了。恕我直言,其中有好的,也有粗制滥造的:没有逻辑,没有故事,没有文化,没有文采,也没有作者自己的见解,就像个产品使用说明书似的!图书评奖的权威性本来就弱,跟体育不好比,即使是诺贝尔文学奖,读者也不见得都买账。

现在中国经济上去了、军事上去了,就有一群人琢磨着文化也该上去了,所以到处乱挺中医,给原创科普评奖,觉得自己多牛。但文化这个东西其实跟经济很不一样,不能随便下个指标就能完成的;相同之处在于:你有多好不是自己说了算,而是别人说了算;如果别人不认可,自己说自己好,就是自欺欺人。我认为,大力引进科普的人都是头脑清醒的,希望我们在这些作品中获得鞭策和启发,写出更多好的原创科普作品来。


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