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传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-09 23:01:59 67 0

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

新冠病毒引起的疾病 COVID-19 的爆发迅速成为所有人关注的焦点新闻:从社交媒体到其他所有媒体平台,人们几乎只讨论疫情,我们的生活也因为出台的各种防疫政策而受到了很大的影响。人们持续探讨、刷新疫情进展的新闻,关注确诊数量,甚至担心将来会是怎样的演变与发展。总之,在客观存在的病毒之外,也同样有这样一种病毒式的时刻,它与信息的极速广泛传播相关,也与随之而来的主观意识相关。

上述这个事实把我们再次带到一个相似的情况:病毒疫情中在人群中不断地传播,非常相似于互联网中某个热点内容的爆红,比如:一条推特上的推文、油管上的一个视频、一种模因、Instagram 或者脸书的一条发布信息,等等诸如此类。给这种火遍全网的内容贴上一个形容词标签——“病毒式的爆发”,这并非偶然,而是存在其一定的流行病学背景。

模因(meme, 又称媒因),是指一个想法,行为或风格从一个人到另一个人的传播过程。

因此,了解调节病毒传播与网络爆红现象两种现象的共同机制,就变得十分有趣:而在此探究多长之中中,数学是一种很重要的基本工具!

许多学者已经研究出一些有用的数学模型,来描述和预测这种流行现象传播的趋势与动向。

而这些模型又是如何建立出来的呢? 其实最主要是通过一种统计学分析:通过计算大规模收集而来的相关传染进展的数据,对相应机制提出假设,然后再通过后续观察,对其进行确认、完善或修改。尤其值得说明的是,一个好的模型必须能以较好减小模型估计值与实际值之间的差距,这样重现一个地区疾病病例的时间序列。

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

▲ 丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782), 著名数学家,约翰·伯努利之子,为伯努利家族代表人物之一。

历史上,法国数学家丹尼尔·伯努利是最早一批尝试进行这项数学研究的人,他曾尝试对天花的传播给出定量描述。大约十八世纪中叶,天花是一种具高度传染性的疾病,其主要透过空气传播。在当时,它几乎是全世界最严重的区域传染病。在欧洲,它曾是主要的死亡原因——每年有 40 万人染病死去。在法国,它也导致了无数的死亡案例,甚至包括太阳王路易十四的王室成员。

在他的 1760 年的论文《天花死亡率新分析以及对预防性接种疫苗的优势研究》里,伯努利提出了一个基于感染人数呈指数增长的数学模型,并在此基础上证明了采用接种疫苗方式对于抵抗这种疾病是非常有效的。

伯努利的研究非常具有前瞻性,其发表比爱德华·詹纳(Edward Jenner)引入天花疫苗还要早几乎四十年。

目前,流行病的数学描述的参考范例是 1927 年由苏格兰科学家 William O. Kermack(1898-1970)和 Anderson G. McKendrick(1876-1943)提出的模型。

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

▲ W. Kermack 和 A.McKendrick 两人头像

在他们的文章"对流行病数学理论的贡献 (A contribution to the mathematical theory of epidemics)"中,两位研究人员观察发现,要了解传染的动态,不妨将人群分为三个流行病学类型:

  1. 易感人群(英文的 susceptible,用 S 表示):指那些尚未但很有可能被感染的个体群

  2. 感染人群(英文的 infectious,用 I 表示):指那些已感染且具有传染性的个体群

  3. 治愈人群(英文的 recovered,用 R 表示):指那些已感染但不再具有传染性的个体群,不再具有传染性是因为被治愈或者已去世或者被隔离

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

Kermack 和 McKendrick 意识到,在大多数流行病中,一个人只能从类型 1 过渡到类型 2,或者从类型 2 过渡到类型 3,而不可能从类型 3 返回至类型 2(假设被治愈的人具有了对该疾病的免疫)。

由这两位科学家所发布的这个特定模型是基于微分方程组,该微分方程组能够预测上述三种流行病学类型的数量随时间的变化趋势:S(t), I(t) e R(t) .

在阿尔弗雷德·洛特卡(Alfred Lotka)和维托·沃尔泰拉(Vito Volterra)提出了非常著名的模型之后不久,Kermack 和 McKendrick 模型问世也并非偶然。前两者也是通过微分方程组来描述一个生态系统的动态,在这个生态系统中两个动物物种相互作用,分别是捕食者及其猎物。

更一般地说,一个受 Kermack 和 McKendrick 的思想启发而建立的基于 S, I 和 R 三种流行病学分类的流行病数学模型,被称为 SIR 模型。当然,也存在其他不同类型的模型:例如,如果该疾病不涉及免疫接种(譬如感冒),则 R 类型没有理由存在,那么人们所探讨的就是 SI 模型。

SIR 模型的主要目标是预测流行病的演变,并估计将会感染该疾病的人口比例。 如果存在某些假设,则可以使用 SIR 模型,具体如下:

  • (a) 在流行病期间,没有新增人口;

  • (b) 在流行病期间,死亡的主要原因是该流行病本身;

  • (c) 人口是被隔离的,即对于外部来说没有入流量与出流量;

  • (d) 该疾病没有潜伏期;

  • (e) 治愈康复后立即获得免疫力;

  • (f) 无论感染后经过多长时间,所有受感染的个体都具有相同的传染性。

很容易直观感受到,这些假设与现实中的实际情况相比非常简化。比方说,新冠病毒所致的 COVID-19 的潜伏期有 14 天,而且,治愈后的免疫力也并没有被证实,更何况,至少来说很显然假设 a 与假设 b 是不现实的。从另一方面讲,在建模的过程中,很自然地,会从着眼于现象的关键要素的描述而展开,从而忽略一些被认为是次要的细节:就有点像在确定弹道轨迹的时候忽略与空气的摩擦阻力,因为这对计算不是很重要。

基于以上假设,SIR 模型的动态学非常简单。在流行病疫情的开始,由于传染,易感人群(即尚未感染的个体)的数量将会逐渐减少,而感染人群的数量将由于相同原因而增长。随着感染人数的增长,一个易感个体被感染的可能性将会更大,因此,感染人群的增长将会从一开始就趋于加速。(尽管伯努利虽然从不同的假设着手,却也预估到了指数趋势)

但是,在某些时候,一些个体将会开始从感染群体这个类型转变到治愈群体类型,因为与此同时,他们治愈康复了,或者死亡,也或者被隔离。从这个时候开始往后,所有的分析都游走在这两个转变过程之间的差值上 : 只要感染者数量多于移出者数量 (移出者数量=治愈数+死亡数+被隔离数),该流行病将会处于其上升阶段,但是,当移出者数量开始占上风之后,就又会处于其下降阶段。 有一个事实是确定的:易感人群的数量总是在减少而移出者数量总是在增加。

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

▲ 根据 SIR 模型呈现的一个流行病的典型趋势

上面是一个用 SIR 呈现的一个流行病可能趋势的图:你会立即注意到感染数量的上升阶段,该阶段达到一个峰值,之后是一个下降阶段。同时,易感数量总是减少,而治愈数量总是增加。

现在,我们花点时间回到之前的那个类比——互联网中病毒式疯传的内容:人们能迅速理解 Kermack 和 McKendrick 的想法也能运用在这个场景下。

我们假设今天有人发布了一个可能成为网络爆红的推文。

在发布的时候,与模因的"病毒传染"潜力相比,整个世界网络社交人群都属于易感人群类型,因为还没有人看到模因但将来可能会。渐渐地,当人们发现这个模因并且他们也转发分享的时候,就从易感人群变为感染人群:实际上,他们成为病毒性内容的“受害者”(转发者),也就是说,他们对这些内容充满热情并积极地将其传播给其他人。随着时间的推移,总是会有越来越多的人将不再对这些内容感兴趣并将停止传播它,从而过渡到“治愈类”。

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

▲ "The dress"图片

2015 年,Tumblr 上有一张因视错觉而爆红的的服装图片开始在平台上疯传,引发了公众一个问题:“这件衣服是白色和金色?或者是蓝色和黑色?” |

这张图片迅速在网上传播开来:仅 48 小时内,帖子就获得了 40 万次互动;最随后的几天里,成千上万的人看到了该图片并通过主要的社交网络分享了它。

上面这张“Sharing of #TheDress”图,以简化的方式反映了名为“The Dress”的网络爆红现象是如何呈现在其病毒式疯传效应中的:同样在这种情况下,也分为三类,即:

  • S :还没有看到过那张图片的人

  • I :看到了这张图片并且热衷于转发分享它的人

  • R :对图片上这件衣服到底是怎样完全不感兴趣的人

传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型

▲ “The dress”现象的病毒式疯狂传播

此时出现的问题是多方面的。为了能够将一种传染性的社会行为定义为流行性传播,并由此按照如上图所描述的"病毒式"传播形式进行疯传,必然的先行条件是什么? 还有哪些其他的可能变化趋势? 这几天新冠病毒所引发的恐慌是通过哪种类型的动态所反映出来的? 这些完全取决于表征传染性的一些基本参数:在下一部文章中,我们将探究它们是什么,并找出 SIR 模型的可能动态。


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