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混种科学中的蝴蝶效应:初始条件的微小变动,导致未来的不可预测

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-10 09:24:18 66 0

混沌的特征:在确定性系统中看似随机的无规律行为;由于确定性的规律,短期内可预测;又因为蝴蝶效应的不可预测性,长期则无法预测。

混种科学中的蝴蝶效应:初始条件的微小变动,导致未来的不可预测

混沌:蝴蝶效应

混沌的现象引起了一些微妙的哲学问题,这些问题蒙蔽了一些粗心的人。例如,我的几名学生对蝴蝶效应嗤之以鼻,认为它平淡无奇。我们都知道,小事情确实可以在我们的生活中引起巨大的不同,甚至会影响国家的命运。由于如此多的复杂性、如此多的无法解释的变量夹杂其中,微不足道的事件有时确实会引发与之不相称的连锁反应。下面是一首描述王国没落的古代诗歌。

断了一枚钉子,掉了一只蹄铁;

掉了一只蹄铁,折了一匹战马;

折了一匹战马,摔死了一位将军;

摔死了一位将军,吃了一场败仗;

吃了一场败仗,亡了一个国家。

但直到混沌理论出现后,这首诗才得到了广泛的认同。类似的连锁反应甚至可以让最简单的系统苦恼不已:水轮、旋转的月球、滴水的水龙头,这些力学系统中的所有定律都已知,只存在几个变量。即使在这些系统中,也潜伏着混沌的种子,随时准备展现它们带来的惊喜。

另一个微妙之处是:在混沌中,每个点都是不稳定的点。每一刻都是真理的时刻。每一个决定都会产生长期的后果,将你的生活改变得面目全非。当你系衬衫扣子时,你完全无法预知选择从上向下系还是从下向上系,在其数年后产生的结果会有多么的不同。我们的生活可能就是这样的,我们只能沿着一条轨迹前进,所以我们无法知道当我们从下向上系扣子时,命运会发生怎样的改变。但为了保持心智健康的生活,我们只能相信,几乎所有的决定都是无关紧要的。电影《双面情人》(Sliding Doors )就对这种困境进行了探索,影片中描绘了一个女人生活的两个完全不同的版本,而这两种不同的命运取决于在屏蔽门关闭时她是否赶上了地铁。

相比于混沌系统,有节律的系统并不显现这种对小干扰的过度敏感。拍打一个节拍器,它会断断续续地移动,但随后仍会恢复它持续不断的嘀嗒声。虽然这会使计时产生偏差,但这种偏差不会随着时间的推移而增长。通过下面这个假设,我们可以看得更清楚。有两个相同的节拍器,初始状态是同步的,干扰其中的一个,它恢复后就不再与另一个同步,二者之间会有一个固定的时间间隔,这种差异不会增加也不会减小。更普遍的是,当一个非混沌系统受到轻微的扰动,干扰要么不增加,要么增加幅度非常轻微,且与时间长短成比例。

有人说,误差的增长速度不会快于随时间的线性增速。这里的要点是如何进行定量计算。误差的线性增长暗示,混沌系统至少在原理上是可预测的。潮汐、哈雷彗星的回归、日食的时间,所有这些都有强烈的节律性,因而可以预测,因为微小的干扰不会迅速增长成为主要误差。预测非混沌系统的时间每长一倍,其初始状态的测量精度就要提高一倍。让系统多运行三倍长的时间,你的测量精度就要提高三倍。换句话讲,可预测的范围也是线性增加的,它与初始状态的测量精度成正比。

而另一方面,混沌系统有着一种完全不同的表现方式,正是在这里,我们开始了解到蝴蝶效应真正令人丧失信心的含义。成功地预测一个混沌系统状态的时间长度取决于三个因素:我们可以容忍多大的预测误差;我们对初始状态的测量精度的高低;我们无法控制的时间尺度,又被称为“李雅普诺夫时间”,它主要取决于系统本身的内在动力学特性。

粗略地讲,我们能够预测的时间的极限长度即相当于李雅普诺夫时间,此后,真实初始状态的测量误差会滚雪球似的迅速增大,超出可容忍的限度。通过降低我们的预测标准或提高我们的初始测量精度,我们总是可以预测更长的时间。但问题是,可预测的极限总是取决于初始测量精度:如果你想预测两倍长的时间,且仍要达到相同的精度,那么它将花费你十倍而不是两倍的努力。如果你有雄心,想预测三倍长的时间,那么它将花费 100 倍的努力;四倍长的时间就需要 1000 倍的努力,以此类推。在混沌系统中,所需要的初始测量精度是呈指数级增长的,而不是线性增长。

这种指数级增长是毁灭性的。这意味着在实践中,无论你的仪器有多好,你能够预测的时间永远都不会长于李雅普诺夫时间。李雅普诺夫时间限定了一个极限值,超过了它,便无法得到可接受的预测。对于一个混沌电路,极限值大约为千分之一秒;对于天气,极限值是未知的,但通常来说是几天的时间;对于太阳系,极限值则是 500 万年。

太阳系的极限值如此之久的原因是,行星的运动在我们今天看来是完全可以预测的;在人类生命的时间尺度上,甚至整个天文学史中,它们都是可预测的。当我们计算数百年前或数百年后的行星位置时,我们的预测是可靠的。但任何关于 40 亿年前,即地球上刚刚出现生命的时候的行星位置说法,都是毫无意义的。

混沌的最后一个微妙之处与潜伏在其中的一种奇怪的秩序相关。混沌不是无形的(再次声明,不要理会这个词语的通常意义)。对于它底层结构的暗示表现在了玩具水轮的运动中,伴随着它永不停息的旋转和反向。尽管序列从不会完全重复,但它的总体特征保持不变。混沌拥有永远不会改变的品质,这是混沌的本质。

混种科学中的蝴蝶效应:初始条件的微小变动,导致未来的不可预测

▲ 爱德华·诺顿·洛伦茨(1917年5月23日-2008年4月16日),美国数学与气象学家。混沌理论之父,蝴蝶效应的发现者。

早在 20 世纪 60 年代初,当洛伦茨分析他的小模型时,就将混沌的本质具体化了。它呈现出一种怪异而又陌生的形状,而不是一个表面,也不是一个固体的体积。当时,现代计算机图形学尚未问世,将混沌可视化绝非易事。甚至洛伦茨在脑海里想到了它的样子之后,还在挣扎着想找到恰当的语言描述其独特的几何形状。他将其描述为“表面无限复杂”,今天我们把它称为“奇怪吸引子”。

正如圆形是周期的形状,奇怪吸引子则是混沌的形状。奇怪吸引子存在于一个被称为“状态空间”的抽象的数学空间中,它的轴代表一个物理系统中的所有变量。洛伦茨方程涉及三个变量,所以奇怪吸引子存在的状态空间是三维的。对于水轮——洛伦茨方程的精确力学模拟,其中一个变量表示了轮子旋转的速度和方向,而另外两个变量则表现了水如何分布在轮子边缘的两个特定的特征。这些变量在任意瞬间的数值定义了状态空间中的一个点,对应于系统在任意时刻的频闪照片。

在下一时刻,随着轮子的旋转、水的流动及重新分配,状态会发生改变。从一个状态变化到另一个状态,系统伴随着自身的动力学特性而演化,由自己的动力推动前进。就像阿瑟·默里(Arthur Murray)舞蹈课中的图解,洛伦茨方程是决定下一步走向何处的规则。它们决定了状态空间中每个点上无限小的箭头的方向。无论转到了哪种状态,它必须遵循那一点的箭头方向,这将它立即带到了一个新的点上。随着那个瞬间的箭头方向,它会前进到下一点,以此类推。随着时间的推移和变量数值的变化,这个点穿越了状态空间,遵循着一个被称为“轨线”的连续路径,就像数学家头脑中的彗星在假想的空间中运行。这个想法的美丽之处在于,它将动力学特性转化成了几何学。混沌运动变成了我们可以看到的图像,一幅我们可以凝视、检查和研究的静态图像。

混沌是什么样的?轨线永远在状态空间中四处游荡,它永远不会闭合或交叉,因为混沌从不重复。洛伦茨可以证明,他的轨线永远被限制在一个特定的大球体内,所以它永远不会逃逸到无限空间中。轨线被困在这个球里,永远在球中无趣地四处游荡,它必须遵循一个非常复杂的路径。我们渴望把它描绘成一个由混乱的线段缠绕成的球体,杂乱无章,没有任何结构。

混种科学中的蝴蝶效应:初始条件的微小变动,导致未来的不可预测

但是洛伦茨原始的计算机图象表明,轨线以一种高度组织的方式运动,只运动到了可移动空间中的一小部分。事实上,它似乎被吸引到了一个特定的表面上——一个纤弱、微观的薄膜,更巧的是,其形状像一对蝴蝶的翅膀。轨线环绕在一只翅膀上,以螺旋形状离开中心。当它接近翅膀边缘时,它就会飞奔到另一只翅膀上,并再次开始以螺旋形状离开中心。轨线会在每只翅膀上画上不计其数的螺旋线,然后跳到另一只翅膀上,就像水轮在反向旋转之前沿着一个方向旋转的次数不可预测一样。

正当洛伦茨努力想搞明白计算机告诉他的意思时,他了解到了有些事情一定是错的。他知道轨线不可能被限制在一个表面上:这样就无法避免轨线出现交叉。蝴蝶的翅膀可能看起来像一个单一的表面,但它们实际上必须建立在无限层上,它们紧密堆积在一起,难以区分,像一层层的云母片。

这个无限复杂的表面——奇怪吸引子,包含了一种新的有序。虽然轨线的运动细节不可预测,但它总是停留在吸引子上,总是穿过相同的子状态。它有限的本领解释了混沌中隐藏的秩序,并解释了为什么它的本质永远不变。


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