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数学中的模式与对称之美——柏拉图立体

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-11 22:32:41 62 0 对称几何

规则的柏拉图立体

在这个问题中,我们将离开平面, 进入三维空间。你以前肯定听说过柏拉图立体, 正四面体(三角形组成的棱锥体)和正立方体这些规则的立体都属于柏拉图立体。

柏拉图立体由规则的多边形组成。例如,正四面体中的等边三角形或者正立方体中的正方形。此外,每个顶点上的棱边数相同。世界上只有 5 种柏拉图立体,命名方式提示了它们各自有几个面 :

  • 正四面体(4 个正三角形组成 4 个面)

  • 正六面体(6 个正方形组成 6 个面,即正立方体)

  • 正八面体(8 个正三角形组成 8 个面)

  • 正十二面体(12 个正五边形组成 12 个面)

  • 正二十面体(20 个正三角形组成 20 个面)

问题来了 :为什么只有这 5 种柏拉图立体?

这个问题乍看很复杂。为什么我用 60 个或 80 个正三角形不能构成一个封闭空间的立体?为什么正七边形也不行?

解答跟之前一样,非常简单。我们仔细观察一下柏拉图立体的顶点,一个顶点至少由 3 个侧面组成。正四面体、正立方体和正十二面体(五边形)正好是 3 个侧面组成一个顶点,正八面体是 4 个侧面,正二十面体则为 5 个侧面组成一个顶点。我们可以把组成一个这样顶点的侧面,像折纸一样展开,展开后的形状如下页图形所示。

我们可以稍微折一下所有的棱边,在白色条状纸面上涂一些胶水,再把它粘在对面棱边的下面,这样,我们就构成了一个顶点。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


▲ 正四面体的一个顶点及相邻侧面

如果你仔细观察这些以顶点为中心展开的图形, 你就会发现这 5 个图形都有缺口。它们也必须有缺口,否则无法将这些多边形组成一个空间上的顶点。组成顶点的棱边,必须轻微折一下,这样才能封闭缺口。换句话说 :各个 n 边形相交于一个顶点的内角和必须小于 360°。

也许你已经明白了 :为什么等边三角形只能组成 3 个柏拉图立体。在正四面体中,3 个三角形组成一个顶点,内角和为 3×60°=180°;在正八面体中,有 4 个三角形,即 4×60°=240°;正二十面体有 5 个三角形,即 5×60°=300°。如果再加一个三角形,内角和则达到了 360°,这就太多了。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


▲ 正八面体

我们用正方形只能构建一个正立方体,3 个正方形组成一个顶点,其内角和为 3×90°=270°。4 个正方形的内角和为 360°,这对柏拉图立体来说也是太多了。正五边形的每个内角为 108°。3 个这样的五边形的内角和仍然小于 360°,4 个五边形则超过了限制,因此用正五边形就无法再构建其他的柏拉图立体。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


▲ 正二十面体

但是,不仅有正三角形、正方形和正五边形,如果用正六边形会怎么样?正六边形的每个内角正好是 120°, 因此构成一个顶点的 3 个正六边形之间就没有空隙了,它们完全可以铺成一个平面,见下一页的图。所以,这样就不能构成柏拉图立体所必需的空间上的顶点了。正七边形就更加不会产生空隙了。正七边形的内角大于 120 °。如果我们将 3 个正七边形放在能构成顶点的一个平面上,就会产生重叠,这样就自然不会构成空间上的立体。n≥7 的所有正 n 边形都是这样的。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


▲ 正六面体,正十二面体, 正六边形组成的立体

我们以上所用的折纸技巧就可以证明,除了这五个已知的柏拉图立体之外,没有其他的柏拉图立体。这个证明比毕达哥拉斯定理稍难理解一些,但是它让我们运用了空间思维,还让我们充分利用了小时候玩折纸模型的经验。这就是我爱它的原因。

不过,当我最近参观哥本哈根附近的方舟现代艺术博物馆时,我曾有过短暂的怀疑,有没有可能存在更多的柏拉图立体。你可以仔细观察一下下面的照片。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


▲ 图自 uk.arken.dk

这个可以攀爬的支架看似由正六边形组成,它由来自冰岛的奥拉维尔•埃利亚松(Olafur Eliasson)设计,就在博物馆旁边。这些六边形构成了球体表面的一部分,另一大部分球体则位于地面以下——至少看起来是的。我甚至不用数这个架子是由几个六边形组成的,就能很快清楚它不可能是柏拉图立体。

位于哥本哈根附近的方舟现代艺术博物馆的雕塑品,类似一种柏拉图立体这些六边形不可能是正六边形,因为如果是正六边形,就不会形成弯曲的球体表面。正六边形的六条边长度相同,不过,这里的六边形与正六边形之间有极其细小的差别,使我们根本察觉不到。此外,这个架子还包含五边形,不过在这张照片上几乎无法辨认。


数学中的模式与对称之美——柏拉图立体


上文节选自未读·探索家《你学的数学可能是假的》


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