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被毕达哥拉斯从音乐中所发现的调和级数

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-15 22:13:00 47 0

被毕达哥拉斯从音乐中所发现的调和级数

我们曾经在学校里学过两种级数:

● 等差级数(arithmetic series),例如:

被毕达哥拉斯从音乐中所发现的调和级数

● 几何级数(geometric series),例如:

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有一个同样基础的级数,称之为调和级数(harmonic series):

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调和级数虽然形式上很简单,但是包含了许多有趣的数学、一些具有挑战性的奥数题、几个出人意料的应用、甚至一个著名的未解决的问题。而有关调和级数的许多问题背后的答案都与我们最初的直觉相违背,因此非常值得了解与学习。

▌为什么该级数称为"调和"?

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▲ 五度音程

这个名字起源于希腊人,我们知道希腊人在许多学科上都造诣颇深。毕达哥拉斯是第一个研究由各种长度的弦所发出的音符的人。如果将一根拨弦时发出中央 C 音的弦,它的长度剪至原来的 2/3,这根弦便能发出 G 音符(音乐家们称从 C 到 G 为一个*五度音程*)。如果弦的长度减半,它将发出高音 C,即高出一个倍频程。这些音符和它们对应的弦长是毕达哥里斯的和声学基础。

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在调和级数中,1,1/2,2/3 的调和均值为 2/3。现在将这些数字取倒数,即

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形成等差数列,因此,那些取倒数即为等差数列的数列,也就是调和级数。

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立方体和八面体

毕达哥拉斯的思想由数学占主要地位,但它也非常接近於神秘主义。例如,他指出立方体有 6 个面、8 个顶点和 12 个边。由于 6、8 和 12 是调和级数,毕达哥拉斯立方体是一个“和谐”物体。还有其他"和谐"物体吗?有得——八面体,它有 8 个面,12 个边和 6 个顶点。还有其他的吗?虽然这是个简单的问题,但我还没深入地思考过,这部分还需要了解欧拉的多面体公式和佩尔方程的解的内容。

▌调和级数的值

不像等差级数和几何级的公式,调和级数的值没有简单的公式对应

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即便如此,我们也可以回答这个问题:调和级数“取极限”究竟是怎样?

也许你会认为调和级数收敛于某个常数,因为随着项的增多,所增加的项在逐渐变小。确实如此,但是如果你用简单的计算器或台式电脑试着计算,你会得到一个有限的数字。这是因为一般的运算器只能处理一定大小(通常为

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)的数字,并且将

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视为零。这样的计算器会告诉你,调和级数的总和是大约 230,如果你让它运行足够长时间的话。

然而,实际情况恰恰相反——这个数列的和会无休止地增长。这个令人惊讶的结果首先被600多年前的法国数学家尼克尔·奥里斯姆(Nichole Oresme)使用比较审敛法所证实。他指出,如果你把该级数

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中的某些项换成更小的项

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并将它的某部分括起来,这个级数就变成

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这个总和就显而易见地比我们原认为的调和级数还要小。

用 H(n) 表示调和级数的 n 项部分和,也叫作第 n 个调和数。奥里斯姆认为

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因此,随着增加的项越来越多,H(n) 增长的速度越来越慢。可以观察到一个很有意思的现象,便是除了 H(1)=1,以外,H(n) 不再等于任何整数。我看到这个问题在不止一篇数学奥林匹克试卷中出现过,而这个问题的解答,因其推理的严谨,同样是值得研究的。

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当乘以这个最小公倍数时,等式左侧的所有项都将是整数,但有一项除外:

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不是整数,因为 P 是奇数,所以等式左侧不是整数。因此等式右侧也不是整数。这意味着这 H(n) 不是整数。

▌创纪录的降雨量

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想知道天气记录多久被刷新一次?调和级数也给出了答案。

如果我们手头有张空白的百年降雨量表格。现在预计百年内会有多少次打破降雨纪录?当然假设降雨量是随机的,因为任何一年的降雨量对以后任何一年的降雨量没有影响。

第一年无疑是创纪录的一年。在第二年,降雨量有同等的可能性大于或小于第一年的降雨量。因此,第二年也创纪录的可能性为 1/2 。因此,在保存纪录的头两年,预计创纪录的年数为 1+1/2。继续到第三年。第三次观测的概率为 1/3,因此三年内记录的降雨量创纪录预期数量为

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继续这一推理,得出的结论是,经过 n 次观测对应的预期创记录年数是

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你猜一百年的降雨量表中打破降雨量记录的次数是多少?如果是 5,那几乎是正确的,因为调和数列的前一百个项的总和是 5.19。

即使在某一年降雨量创纪录之后,没有人会怀疑这一纪录将在未来某个时候被打破——也许在明年。因为无限次的观测对应创纪录年数显然是无穷大。我们有直观的理由相信调和级数是发散的。

以下是 n 取不同的值时所对应的 H(n):

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