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描述流体运动的Navier-Stokes方程与湍流

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-18 15:08:56 41 0

当我见到上帝后,我一定要问他两个问题——什么是相对论,什么是湍流 。我相信他只对第一个问题应该有了答案。

——沃纳·海森堡

▌引言

1963年,洛伦兹研究气象系统时发现了被称为洛伦兹系统的模型,简单地说,它有着“蝴蝶效应”这一性质,系统对初值扰动异常敏感。(蝴蝶效应即得名洛伦兹吸引子的形状与洛伦兹:“一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀,可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。”)这也是所有混沌微分方程中最著名的。洛伦茨系统中出现的许多现象后来在许多领域被发现。这种非线性系统区别于线性系统的主要特征被称为混沌。

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▲ 每条线都代表初值小变动后解的不同轨迹。

实际上,混沌现象在很久以前就被注意并得到了一定研究,本文聚焦于“经典力学的最后未解之谜”——湍流

大涡用动能哺育小涡,

小涡亦哺育子女,

直到归于粘性。

——刘易斯·理查森

▌湍流

湍流至今没有得到准确的定义,一般认为湍流是时间和空间上强烈变化、多尺度的、不规则的复杂非线性流体运动状态。

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▲ 视频截图自3Blue1Brown

最早注意到流体运动中湍流现象的是英国科学家雷诺。1883 年,他通过实验研究发现了液体在流动中存在两种内部结构完全不同的流态:层流和湍流。体流速较小时,流动是分层的,与周围流体无宏观混合。而流速越过临界值后,各个方向随机的运动产生了,也就是有序流动中产生了大小不一的漩涡。

1922 年,理查森发现了湍流动能级串过程,即湍流在不同尺度间存在逐级能量传递,由大漩涡传递给小漩涡。而这一过程被理查森以诗歌般娓娓道来,即文章开头的引言。

柯尔莫哥洛夫更进一步,提出 K41理论,这一理论认为,能量从大尺度注入,沿着-5/3的直线向小尺度流动,漩涡不断破碎,分裂,直到在足够小的尺度转化为内能耗散。

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其中 E(k) 是能量的傅里叶变换,ε 是单位时间内耗散的能量, k 是波数,具体过程如图。

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▌Navier-Stokes 方程

一般认为Navier-Stokes 方程足以描述湍流,这个方程是流体的基本模型之一。

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其中 u 代表速度,p 代表压强。第一个方程来自牛顿第二定律,第二个方程称为连续性方程,意义是不可压缩流体是连续的(物质不会凭空产生或消失)。值得注意的是对流项 (u·) u ,它代表惯性力,是方程非线性的来源,而粘性项 v △u 代表粘性力,可以说研究 N-S 方程性质就是判断这两项的搏斗谁会赢。物理学家引进了所谓雷诺数来描述速度场,即

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根据雷诺数的大小,可以分为两种可能:

1. 雷诺数很小。这时粘性项占主导,动能会耗散殆尽,流体流动相当温和。

2. 雷诺数很大。这时对流项主导,湍流与激波产生,值得注意二维 N-S并不会产生湍流。

现在对N-S方程的研究成果表明,短时内N-S方程的解不会产生湍流,而这一结论是否可以拓展到长时尚不明确(目前想做到这一点需要加条件,这显然不是物理上能够让人满意的),上个世纪,一批数学家在假设速度场在有限时间爆炸的前提下对爆炸的集合(奇异集)进行刻画,发现奇异集在一定意义上是相当稀疏的,Mandelbrot 曾经猜测湍流会展现分形性质; 实际上, Scheffer 在表示, 这一定理正是受到 Mandelbrot 关于分形的论文的启发才证明的。有趣的事发生了,奇异集的豪斯多夫维数不大于5/3恰好与Kolmogorov理论中幂律的幂相同。以及,如果流体的速度场在某个时刻出现了爆破现象, 那么它的应力张量和涡量也同时会爆破. 于是流体内会出现应力非常大的点, 也会产生越来越不规则的漩涡. 这显然是湍流的重要特征。

陶哲轩研究了平均化的N-S 方程,目前的数学工具不足以区分它与真正的N-S 方程,而这个方程即使初值光滑,也会在有限时间爆炸(动能趋向无穷)。只要初值合适, 能量从大小大致为(1+ε0)−n(1+ε0)−n的漩涡向大小大致为(1+ε0)−n−1(1+ε0)−n−1的漩涡传递, 传递时间大致是(1+ε0)−5n/2(1+ε0)−5n/2, 而传递的比率大致是(1+ε0)5n/2(1+ε0)5n/2。有趣的事又发生了,他以数学角度严格重建了柯尔莫哥洛夫的K41理论,这种交会可能会指引我们找到答案。

最后,我想引用[1]中的一段结尾。

物理学一直在启发着数学, 但对于尚且没有准备好的数学家来说, 这种启迪总是很难参透. 自然界的基本规律用无声的语言向我们诉说, 而我们仍旧需要作出相当的努力去理解它.

"我还有好些事要告诉你们, 但你们尚且不能领会." ——[约翰福音 16:12]

▌后记

对数学方面感兴趣的读者可以学习[2],从推导直指前沿,本文主要参考[1],湍流方面的著作有[3],混沌与动力系统方面[4]是一本优秀易懂的教材。湍流图像来自视频 3Blue1Brown 可视化湍流,推荐。

[1]DTSIo,Navier-Stokes 方程的数学理论: 综述;

[2]Terence Tao ,254A-imcompressible fluid equations;

[3] Stephen B Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press,

[4] W.Hirsch, M., Smale, S., & L.Devaney, R. (n.d.). Differential Equations,Dynamical Systems&An Introduction to Chaos.

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