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高等数学在生活中真的没用吗?——从那只让我爱上数学的乌龟谈起

高等数学在生活中真的没用吗?——从那只让我爱上数学的乌龟谈起

不知从何时起,网上一种数学无用论的言论尘嚣而上,许多人都表示赞同和支持,甚至还有人觉得高考要取消数学,因为数学平时用不上,买个菜什么的只要会100以内的加减法就行了。尤其是到了大学,几乎每个理科学生都要学习一门叫做高等数学的课程,这让很多学生都叫苦不迭。那么高等数学除了是考研的必须科目和其他理工科做研究的基础工具,在我们的生活中真的就没有别的用处了吗?

高等数学在生活中真的没用吗?——从那只让我爱上数学的乌龟谈起

我想先从我小时候的一个经历讲起,小时候爸爸总是会买许多书给我看,90后的孩子,一定会对下面这套书很熟悉

高等数学在生活中真的没用吗?——从那只让我爱上数学的乌龟谈起

这是新中国成立后第一套少儿百科全书,当时我看的时候就对那本橙色的"科学.技术"卷特别感兴趣,里面有一章讲到了一个悖论,即"人龟赛跑"悖论,大致的意思是,一个人和乌龟赛跑,规则规定乌龟先跑一段路。假设乌龟先跑100米,然后人再起跑,这样人将永远追不上乌龟,因为人跑了100米之后,乌龟又往前跑了一段,假设是10米,人再跑了10米之后,乌龟又往前跑了1米……就这样,人和乌龟的距离只会不断缩小,却永远也不能变成零,即人将永远也追不上乌龟。

当时我看到这个悖论的时候大约只有10岁,我被这个悖论深深吸引了,明知道用简单的时间路程公式就可以算出这是个完全荒谬的结果,但却找不到这种说法的破绽,于是我迫不及待的问了爸妈,又去书店找相关的书看,可惜当时年龄太小,对书里那些繁琐的解答完全没办法看懂,于是这个疑惑就一直深深地压在我的心里。

一直到大约十年之后,我在大学学了高等数学这门课,学习到了无穷小和极限的知识,于是又想到了这个问题,顿时有一种醍醐灌顶,茅塞顿开的感觉,这种思考的乐趣和顿悟的快感实在是一种无法比拟的感觉。

用数列极限的知识可以轻松地破解这个悖论。

在上文的描述中,"人跑了100米之后,乌龟又往前跑了一段,假设是10米",即人的速度是乌龟的速度的10倍,所以人要追上乌龟,需要追及无穷多段,我们将这无穷多段求和

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显然级数收敛于 10/9 ,所以人只需要跑 1000/9 米的路程就能追上乌龟。

经过这件事,我对数学的兴趣变得越来越深,这是我第一次觉得高等数学在生活中也是可以应用的。后来我才知道,原来这个悖论就是著名的芝诺悖论,这个和乌龟赛跑的人是古希腊大名鼎鼎的英雄阿基里斯,而这只令我爱上数学的小小乌龟,居然还引发了第二次数学危机。而芝诺的乌龟又和薛定谔的猫,拉普拉斯兽,麦克斯韦妖并成为物理学四大神兽。

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▲ 追着乌龟的阿基里斯悖论(图自维基)

再说一个生活中的例子,在高等数学第一章的最后一节,我们会学到两个重要的数列极限,其中一个是

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其中e是个无理数,它的值是2.718281828459045……,这个公式和我们的生活又有什么关系呢?我们现在很多人都会选择投资理财产品,现在的理财产品各式各样,即使年利率均相同(假设为5%),但是每年计息的次数不一样,实际的利率也是不同的,假设我们存入的本金为A

若一年计息1次,年底将会得到的本息和为A(1+5%)=1.05A

若一年计息2次(即每半年记一次息),年底将会得到的本息和为A(1+5%/2)²≈1.0506A

若一年计息4次(即每季度记一次息),年底将会得到的本息和为A(1+5%/4)^4≈1.0510A

可以看出,每年计息的次数越多,得到的本息和就越多。但是现在的有些活期理财产品是连续复利的方式计算利息的,即每时每刻都在计息,则得到的本息和为

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这个式子表明了连续复利是有极限的,理解连续复利对我们生活中的投资,理财,贷款等都有着重要的,在计算的过程中就用到了上面所提到的重要极限。

我们知道,我国的短跑运动员苏炳添是新一代的亚洲飞人,下面我们来思考这样一个问题

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假设苏炳添跑100米的成绩为10.00秒,那么显然他跑这一段路的平均速度为100/10=10m/S,这是用路程除以时间得出来的平均速度。那么请问,苏炳添在跑这100的过程中是否有一个时刻的瞬时速度正好等于10 m/S呢?答案是肯定的。

我们可以用拉格朗日中值定理的几何意义来快速解决这个问题,拉格朗日中值定理的表达为

如果函数f(x)满足:

(1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;

那么在开区间(a,b)内至少有一点

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使等式

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成立。

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假设在图像中横轴代表跑步的时间 b=10秒,a=0,纵轴代表跑步的路程 f(b)=100米,f(a)=0,则 则为平均速度10 m/S,则根据拉格朗日中值定理,一定存在一点 ξ 使 f'(ξ)=,根据导数的定义 f'(ξ) 即为瞬时速度,则苏炳添在跑这100的过程中一定有一个时刻的瞬时速度正好等于10 m/S。

所以说,这些定理虽然看文字表述十分复杂,但通过我们生活的实例会让它变得非常通俗易懂。

说了这么多,又回到了那个老生常谈的问题,数学到底有什么用?也许对这个问题每个人都有自己的理解,但是下面这个是我见过最好的回答:

"在这个越来越追求功利的时代,人们总是在问,它们有什么用,可人们总是不在意,它们是否是有趣的,在我的眼里,数学就是有趣的东西。人生那些最重要的东西,其实大都没有什么用,但这些才是与你一生相守的东西,因为它们可以陪伴你那有趣的灵魂,是你生命最重要的存在,会在你最黑暗的时候出来拯救你。"

所以如果你还是学生,那就请你好好学习数学,好好发现数学中那些有趣的东西吧。

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