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「不可能的数字:复数」-图解数学

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-23 09:37:35 43 0 复数

复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久, 一度曾被叫做不可能的数字(“子虚乌有的数”), 直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动, 才被数学家们渐渐接受.

确实理解复数确实需要一点时间, 不过它并不复杂, 而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形, 这次让我们用图形的方式来认识这个概念.

先来它怎么是实数延伸呢? 来把目光聚焦在实数轴上看看两个数字之间加减乘除这 4 种运算. 观察到红蓝两个点(数), 在不同的计算下, 其结果绿点也随之移动, 总还落在数轴上. (除法分母为 0 时候, 当然无意义)

「不可能的数字:复数」-图解数学

并且我们注意到任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上. 乘以 -1 的操作可以理解为该点(数)绕着 0 旋转了半圈.

「不可能的数字:复数」-图解数学

数学家进一步思考, 既然对于实数(比如 1)乘以 -1 是转动 180°, 那么只转动了 90°, 结果会落在哪里? 会不会有什么意义呢?

后来挪威测量学家韦塞尔考虑到数 1 转动两次 90° 会刚好到 -1 ( 1*i*i ). 所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转, 是虚数单位, 成为之 i . 于是有着性质:

「不可能的数字:复数」-图解数学

这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane)上了, 所有在复平面上的数都满足 z=a+b i 这样的结构, 称之为复数. 其中 a 称为实部(real part), b 为虚部(imaginary part).

「不可能的数字:复数」-图解数学

直角坐标平面是二维的, 需要两个数 (x,y) 来描述任意一点的位置, 但现在只用一个复数就够了, 可以用实数组 (a,b) 代表这个复数 a+b i, 并且可以在复平面上绘制出来. 这里还有三个新概念需要知晓:

  • 复数的模(modulus, 通常写为 |z|)

  • 辐角(argument, 通常写为 arg(z))

  • 复数的共轭(conjugate,通常写为下面形式)

「不可能的数字:复数」-图解数学

复数的模就是它长度 r - 原点和 z 点之间的距离. 辐角 φ 就是与实轴的夹角, 共轭就是 a-b i 的形式. 观察下图可以更好理解:

「不可能的数字:复数」-图解数学

下来看看复数是如何进行加减乘除运算, 比如可以两两相加, 也就是两个复数实部和虚部分别对应相加, 可以看成是平移.

「不可能的数字:复数」-图解数学

复数也可以有数乘运算(放大缩小):

「不可能的数字:复数」-图解数学

复数的乘法, 如果只乘以 i 相当于这个复数转动四分之一圈:

「不可能的数字:复数」-图解数学

z1*z2 两个复数相乘其实就是旋转+伸缩, 相等于两个复数的模相乘(伸缩大小), 辐角相加(旋转量).

「不可能的数字:复数」-图解数学

如果对图片中的每一点做复数运算的变换, 可以得到各种有趣的平面变换图像. 这里为了纪念欧拉大神310年诞辰, 就以他老人家头像为例, 比如做乘以 2 i 的函数变换 - 旋转 90°, 同时放大了2倍:

「不可能的数字:复数」-图解数学

变换函数为三次方, 考虑为什么会变成这个形状呢? :-) 

「不可能的数字:复数」-图解数学

上面就是制作的图解数学知识点复数的案例. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高中数学相关概念的动图.


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