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牛顿运动三大定律背后那些传说和伟大人物|伟大的数学公式巡礼

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-23 09:57:43 54 0

经典物理学中最伟大的没有之一的核心定律:牛顿运动三大定律

问问大多数人,看他们知道有关牛顿的什么事情,你很可能会听到他们告诉你一个苹果从树上掉下来的故事。根据传说,牛顿在看到一个苹果掉下来时受到启发,意识到或许也可以用同一种力来解释行星的运动,从而构思了他的万有引力定律。而且后来的人们添油加醋,说牛顿或许是因为苹果砸在他的脑袋上才受到启发的。

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还有一个同样未经证实的传说则与此相反;该传说于1858年第一次诉诸文字,是在英格兰一个名叫《注释与询问》的有趣杂志上首次披露的。根据一位名叫“W”的作者陈述,当时最负盛名的数学大家卡尔·弗里德里希·高斯以如下方式否定了前面一个传说:“有关苹果的历史实在太荒唐了。事情无疑是这样发生的:有一次,一个喜欢纠缠不休的糊涂人找上了牛顿,一定要牛顿告诉他,引力定律这一伟大成果是如何被‘一举命中’的。牛顿发现眼前这人其蠢无比,就想快点摆脱他。于是牛顿告诉他,这是因为有一只苹果‘一举命中’了他的鼻子;这家伙一听就立刻全明白了,然后便满意地走了。”

人们应该怎样理解这类传说?实际上,苹果这一故事的内容比高斯意识到的更多(如果他的上述引言是真的话)。

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这一故事可由两个来源加以证实,其一是著名的法国作家伏尔泰,他亲耳听牛顿的侄女说起。很难说他跟高斯想象中的“喜欢纠缠不休的糊涂人”有什么相近的地方!人们或许会把这个故事想象成实际发生的状况经过高密编码之后生成的版本。如果你不知道密码,你就会看到一个高斯如此强烈否定的卡通片式故事。

是有一棵苹果树吗?不错。这棵树就在英格兰的乌尔索普,在艾萨克·牛顿家的老宅田产内。他在那里一直住到1661年,然后去剑桥三一学院就读。而最重要的是,1665年,英格兰爆发了最后一次大瘟疫,是年牛顿回返故乡,并在田园静谧中度过了差不多两年时光。就在这期间,他发展了微积分的基础,并开始思考行星运动的问题。牛顿写道:“那时我正处于发明创造的高潮;我对数学与哲学的关注超过了那以后的任何时候。”

然而牛顿并不需要一个掉落下来的苹果来启发他,关于这一点高斯完全正确。这一问题的历史何止千百年,牛顿肯定是受到了这一问题本身的启发。月球、太阳和行星是否需要某种外部力量让它们运动?

如果需要,那又是什么呢?亚里士多德认为,构成天体的物质与地球不同,而且它们的自然运动轨迹是圆形的。开普勒认为需要一种推动力才能让行星保持在轨道上。笛卡儿或多或少赞同这一点;在他精心发展的理论中,宇宙是由旋流组成的;是这些旋流扫过了在轨道上运行的行星。作为一位青年学者,牛顿会对当时主要的科学辩论之一给予热情的关注,这是天经地义的。他设计了一个体系,在这一体系中,苹果与行星受到了同样的力作用。(因此苹果才会有如此重要的地位!在这一点上牛顿并没有苟同亚里士多德。)让人注目的是,行星也始终在自由下落;它们并不需要推动力。(在这一点上牛顿没有苟同笛卡儿和开普勒。)

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上图为艾萨克牛顿于1668年制造的第一台反射式望远镜;图中背景是牛顿的《自然哲学的数学原理》手稿

虽说苹果这个故事有一定的价值,但它无法解释牛顿最后是怎样让整个科学界接受了他的理论的。他的杰作,《自然哲学的数学原理》(经常按其拉丁名简称《原理》)对物理学的重要意义等同于欧几里得的《几何原本》对几何学的意义。在该书开宗明义第一部分中,牛顿就叙述了三个公理,即世间万物的运动遵循的三个定律,无论它们是苹果或者是卫星。后来他又加上了万有引力定律,这一定律定量说明了物体是怎样通过引力相互吸引的。单从这些原理出发,他证明了行星围绕太阳的运动服从开普勒三定律。

其实,开普勒第一定律或许就是牛顿写作《原理》的主要原因。其他几位物理学家,其中尤其是牛顿的竞争者罗伯特·胡克,以及建筑师克里斯多菲·雷恩、荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯,已经在17世纪80年代初摸到了“牛顿”万有引力定律的门槛。但他们无法证明这一定律是让行星的轨道呈椭圆形的原因;他们只能应付数学上简单得多的圆形轨道的情况。1684年,牛顿的朋友埃德蒙顿·哈雷问牛顿能否证明行星的轨道是椭圆。牛顿说他能,然后哈雷便用尽了千条妙计,最终说服牛顿发表他的论证。三年后结果发表,但这远远超出了解决一个问题的水平;它为将来的一切物理学书籍定下了基调。

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埃德蒙顿·哈雷英国天文学家、地理学家、数学家、物理学家,计算出哈雷彗星的公转轨道,并预测其回归

哈雷慷慨解囊,为牛顿巨著的付印支付了部分费用;他的这一义举最终以一种非常独特的方式得到了回报:除了对苹果和行星以外,牛顿的理论也可应用于彗星。其实这正是牛顿本人强调指出的一点。因为彗星的轨道是椭圆,所以它们一定会一次又一次地回归。哈雷意识到,人们曾多次观察到一颗特定彗星,它以大约75年的周期回归:1456年、1531年、1606年和1682年。于是他正确地预测了这颗彗星将会在1758年(那时他早已离世)再次回归。从那时起,这颗彗星每隔75至76年就会回归一次,人们现在称它为哈雷彗星。

牛顿第一定律说运动物体将永远保持匀速直线运动,除非有外力将其停止或者改变其运动方向。乍听起来这似乎相当令人吃惊:不管怎么说,高尔夫球不会永远向前,行星的运行轨道也不是直线。在这两种情况下,原因都出在作用在物体身上的外力上面。作用在高尔夫球身上的外力是地球的吸引力、在空中时风的阻力、落地后与地面的摩擦力。对于行星来说,这个看不见的力是太阳的吸引力。

牛顿第二定律称,作用在物体上的力等于其动量的变化率。我们可以用微积分的语言将其写为

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回想一下,d/dt 代表变化率,而 mv(其中 m 是物体的质量,v 是其速度)代表动量。在绝大多数实际条件下,物体的质量不会改变;在这种情况下牛顿第二定律即为 F=ma(即力等于质量乘以加速度);今天,每一个开始学习物理的学生对此都耳熟能详。

牛顿第三定律为:“对于任何一个作用力,都存在着一个与它大小相等方向相反的反作用力。” 物理学家们不像使用前两个定律那样经常使用这一定律,但它能解释许多现象,其中包括火箭为什么能工作。火箭通过喷嘴喷出推进尾气,因此产生了反作用力:这使火箭具有相反方向的加速度。

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这三大定律共同解释了所有的力是如何影响一切固体的运动的。另一方面,牛顿引力定律只能应用于一种力:引力。这一定律称,在质量分别为 M 与 m 的两个物体之间存在的引力的大小为:

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分母 r2 表示引力的强度与行星和太阳之间的距离r的平方成反比。(这是胡克、雷恩和惠更斯已经猜到的部分。)负号与矢量 r∧(读作“r-帽”)表示力的方向指向太阳。换言之,开普勒和笛卡儿是错误的。并不存在沿着轨道推动行星运行的力,而只是一个侧向的引力,即朝向太阳的引力。

牛顿真正独树一帜的成就是他运用微积分把引力定律和他的运动定律结合,从而建立并随之解决了描述行星轨道的方程的能力。当人们不仅可以观察,而且可以预测和控制行星的运动,以及最终可以观察、预测与控制火箭与宇宙飞船的运动的时候,牛顿的物理洞察力与数学工具便一起引导了天体动力学新时代的来临。

(完)

上文节选自《无言的宇宙:隐藏在24个数学公式背后的故事》, 已获出版社许可. [遇见数学] 特此表示感谢!

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书中这些故事既长知识又有趣,比如:发现世界上最简单的方程,这意味着什么;如果世间未曾有过“0”这个概念,将会怎样;牛顿运动定律如是何使人类做到这一切的——从建设桥梁到预测天气;一根劣质雪茄如何改变了量子力学的进程;为什么鲸鱼(如果它们能和我们交流的话)会教给我们完全不同的几何概念?


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