首页 趣味数学故事正文

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-23 10:11:27 71 0 几何

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

作为图形科学的平面几何

平面几何作为图形科学,其研究对象如下图所示,是使用尺子和圆规作出来的图形。描绘图形是图形科学的实验,图形科学的理论用于解释图形现象,例如证明图中P、Q、R 三点在同一条直线上。图形的绘制需要保证正确性,这和在物理学中的实验必须严谨是一样的。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

平面几何中,一般会把几个基本法则当作公理(Axiom),根据公理通过论证来推导出各种各样的定理(Theorem),从而构成一个体系,这叫作建立公理系统(Axiomatic system)

在本章中,我将尝试讲述作为图形科学的平面几何及其严密的公理系统。

§1 公理系统

我们首先来明确公理。

公理Ⅰ 图形可以在不改变其形状和大小的情况下改变其位置。

这是前文引用的《理解几何学》中的公理Ⅰ,也是掛谷老师的教科书中的第一个公理。

公理Ⅱ 通过两点的直线有且只有一条。

这是掛谷老师的教科书中的第二个公理。在这里,“直线”的意思是《理解几何学》中解释的没有端点的无限直线。通过两点A 和B 的直线叫作直线 AB

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

线段,射线 在直线AB 上,点A 和点B 之间的部分叫作线段AB,A和B 是线段AB 的端点。线段即《理解几何学》中所说的有限直线。线段AB 的长度用AB 来表示。当然,

BA = AB

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

连接A、B 两点的线段AB,其长度为AB,这叫作 A 和 B 的距离

从直线 AB 截取线段 AB 后,直线 AB 剩余的部分叫作线段 AB 的延长线

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

在直线上取一点O,O 把这条直线分成两个部分。这两个部分都叫作射线O 叫作直线的开端或者端点。把 O 作为端点且通过点A 的这条射线叫作射线 OA,从直线 OA 截取射线 OA 后,直线 OA 剩余的部分叫作射线 OA 的延长线。另外,把 O 作为端点的射线叫作从 O 出发的射线。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

以 O 为开端的两条射线

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

以 O 为端点过 A 的射线

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

射线OA 的延长线

角是从一点 O 出发的两条射线构成的图形,O 是角的顶点,两条射线是边。在《理解几何学》中,角的定义是“从一点画出来的两条射线所截取的平面的一部分”。但是,本书认为,角是从一点出发的两条射线构成的图形,两条射线截取的平面的一部分(红色部分)

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

称作角的内部。角的内部是角的两边所围成的平面。

在直线上取两点A、B,则可以把这条直线称作直线AB。在角的两边分别取与顶点O 不同的点A 和点B,则可以把这个角称作角AOB。角AOB 用∠AOB来表示,当然,∠AOB 和∠BOA 是相同的角。

角的大小 《理解几何学》中把角的大小定义为:“其一条边围绕点O 旋转,一直转到另一条边时的旋转量。”再清晰一些解释的话,围绕点O 周围旋转的射线OX 从射线OA 的位置出发,一直旋转至射线OB 的位置,此时,射线OX的旋转量为∠AOB 的大小。∠AOB 的大小同样用符号∠AOB 来表示。角的大小∠AOB 是正实数。∠BOA 和∠AOB 相同,所以

∠BOA = ∠AOB

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

∠AOB 常常简写成∠O,此时,角的大小∠AOB 也写成∠O。

定义在射线 OX 上 OE = 1 处的点为 E 点,当射线 OX 从 OA 旋转至 OB 时,点 E 作出一个圆弧。这个圆弧的长度是射线 OX 的旋转量,这样来想的话,我们就很清楚地明白旋转量的意思了。但是,圆弧的长度是平面几何范围外的知识,所以我们不能使用圆弧的长度来定义角的大小。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

要想测量角的大小,从实用的角度来说,使用量角器是很方便的。量角器的刻度表示圆弧的长度,所以用量角器测量角的大小和用圆弧的长度表示角的大小的原理是相同的。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

点C在∠AOB 内部时,如果作出射线OC,∠AOB 就会分成∠AOC 和∠COB两个角。这时,角的大小的等式为

(1.1) ∠AOB = ∠AOC + ∠COB

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

三角形

三角形 不在同一条直线上的三点A、B、C 两两连接变成线段BC、CA、AB,它们构成的图形叫作三角形ABC,用符号△ABC 来表示。点A、B、C 叫作△ABC的顶点,线段BC、CA、AB 叫作ABC的边。∠BAC、∠ABC、∠BCA 叫作△ABC的角或者内角,有时简写成∠A、∠B、∠C。另外,把∠A、∠B、∠C 分别叫作边BC、CA、AB 的对角,边BC、CA、AB 分别叫作∠A、∠B、∠C 的对边。由三条线段BC、CA、AB 围成的部分平面(阴影部分)叫作 △ABC 的内部

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

公理Ⅲ 在 △ABC 中

AB < AC + CB

《理解几何学》的公理Ⅲ结合了此处讲到的公理Ⅱ与公理Ⅲ*。

公理Ⅲ* 线段AB 是连接点A 和点B 两点间的最短距离。

我们可以知道,公理Ⅲ是公理Ⅲ 的特殊情况。在本章的平面几何中,如果有公理Ⅲ,便不需要公理Ⅲ。我们用公理Ⅲ取代公理Ⅲ*。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

注意 在平面几何中,长度被明确定义的线仅仅是有限个线段连接而成的折线。举例来说,公理Ⅲ* 实际上主张,当把点A 和点B 像前一页最下方的图那样用折线连接起来的时候,则

AB < AC + CD + DE + EB

将这个不等式与公理Ⅲ结合,可以做如下证明。

AB < AE + EB < AD + DE + EB

< AC + CD + DE + EB

公理Ⅲ* 比公理Ⅲ要常见,但实际上与公理Ⅲ相同。

初中生应该很容易明白公理Ⅰ的意思。我也是在旧制中学时毫无异义地接受了公理Ⅰ。但是,仔细一想,我注意到,虽说图形可以在不改变其形状和大小的情况下改变其位置,但是“形状和大小”的意思并不是很清晰。庆幸的是,在本章中,适用公理Ⅰ的图形都是三角形。关于三角形,△ABC 的“形状和大小”是由 3 个角∠A、∠B、∠C 的大小与 3 条边 BC、CA、AB 的长度来决定的。因此在适用三角形的情况下,公理Ⅰ变成如下内容:

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

公理Ⅰ△ 三角形可以在不改变 3 个角的大小和 3 条边的长度的情况下改变其位置。

这叫作移动① 三角形。

如果将平面上的三角形看作是把三角尺放置在平面上,那么就可以随意平移、旋转三角形。在平面几何中,三角形并不是放置在平面上的,但是,与在平面上移动三角尺一样,平面几何中的三角形也可以自由移动,这就是公理Ⅰ△。

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

如上所述,本章适用公理Ⅰ的图形仅限于三角形,所以在此舍弃公理Ⅰ,取而代之使用公理Ⅰ△。因此就可以不使用“形状和大小”这种模糊的表达方式了。以防万一,我们在此整理总结一下前面提到的公理。

公理Ⅰ△ 三角形可以在不改变3 个角的大小和3 条边的长度的情况下,改变其位置。

公理Ⅱ 通过两点的直线有且只有一条。

公理Ⅲ 在△ABC 中,AB < AC + CB。

平角

如下图所示,当A、O、B 三点在同一条直线时,把两条射线OA 和OB 组成

作为图形科学的平面几何|《几何世界的邀请》

的图形视为角,用∠AOB 来表示,这叫作平角。直线AB 把平面分成两个部分。其中的一部分(下图中的阴影部分)叫作平角的内部。围绕点O 旋转的射线OX 从射线OA 旋转至射线OB,此时旋转量的大小为平角的大小。因此,当点C 位于平角∠AOB 内部时,等式∠AOB = ∠AOC + ∠COB(1.1)成立。

定理1.1 平角都相等。也就是说,如果∠AOB 和∠CPD 都是平角,那么

∠AOB = ∠CPD


免费下载:微信扫码关注网站官方公众号【中小学趣味数学 qwshuxue
趣味数学二维码
1、回复 “101”免费领取《【小学奥数】学er思内部题库word可打印
2、回复 “102”免费领取《【记忆力教程】快速高效学习教程
3、回复 “103”免费领取《一分钟速算教程
4、回复 “104”免费领取《Top 32经典英文启蒙绘本PDF+MP3
5、回复 “105”免费领取《儿童英语绘本195本【PDF版】
6、回复 “106、107、108”免费领取《更多神秘礼物……
版权说明

本文仅代表作者观点,不代表本站立场。
本文系作者授权发表,未经许可,不得转载。

本文链接:http://www.zxxedu.cn/38679.html

发表评论

评论列表(0人评论 , 71人围观)
☹还没有评论,来说两句吧...