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一对一的数数从未开化到文明|数学与生活

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-24 10:44:25 61 0

数学是高等智慧生物的共有思维,是对真理的探索,对矛盾的怀疑,但它绝非一门晦涩难懂的学问,非应试目的的数学是纯粹而朴实的智慧。《数学与生活》为日本数学教育改革之作,旨在还原被考试扭曲的数学,为读者呈现数学的真正容颜,消除应试教学模式带来的数学恐惧感。

1.1 从未开化到文明

有一位数学家接受手术。在开始手术前,外科医生让这位数学家闻麻醉药,并且叫他数1,2,3,…。这位数学家要是在平时,别说是1,2,3,…,就是极大或是极小的数也都能随心所欲地数出来,可是他却抵抗不住麻醉药,数1,2还可以,数到3就人事不知了。一滴氯仿就把数学家带回到只能数到3的未开化人的状态去了。

用一滴麻醉药,就能把数学家带回到未开化人的世界去,但是反过来,从未开化人变成数学家的道路可就漫长而又遥远了。不仅仅是漫长,那还是一条极其曲折的道路呢。为了看清数学这门学问的本来面目,我们有必要回到起始点,在这条曲折的道路上再走一遍。

精神病医生为了试验病人的神智是否清楚,好像就是让病人数数的。据说从前在泰国的法庭上也是让证人数到 10,如果数不上来,就没有资格作为一名证人。但如果根据这件事就想说“数学是智能的检验标准”的话,一定会有许多人瞪着眼反对。这是因为在这个世界上有许多人讨厌数学。

与喜欢数学的柏拉图不一样,讨厌数学的索克拉提斯说:“在数学家当中,没有人能够作认真的推论。”另外,还有很多人公然说数学这种东西是有害无益的。

可是,喜欢、讨厌姑且不说,既然生活在现代,没有数这个东西就不能生活下去。其实只要想一下在每天的报纸上出现多少数字就明白了。所以,即使是讨厌数学、对计算觉得棘手的人,实际上也是懂得相当多的数学、很会应用数学的人。站在未开化人当中,就是第一流的数学家了。

即使说数学不行或者讨厌数学,也并不意味着这个人的智能或人品不好。可是要在现代社会生活下去,不用说,会有很多不便之处。一看见数字就头痛的人,跟一坐车就晕车的人是一样的吧。

1.2 数的黎明

从前——距现在大约50万年,在现在北京郊外周口店的洞穴里,居住着人类的祖先北京猿人。从他们遗留下来的石器和动物的骨骼,可以大致知道他们从事什么样的劳动,吃什么样的食物。但是要推测他们懂什么数学就非常困难了。为什么呢?因为数这个东西是无形的,没有一种直接了解的线索

但这并不是说就没有一种间接的线索,去了解人类在太古时期如何建立数字或图形的知识。这线索就是考察在文明进步中遗留下来的未开化人的数学,另外就是观察在幼儿当中,数的概念是怎样建立的。

首先产生的问题是,除了人类以外是否真有动物了解数?就像经济学家亚当•斯密说的那样:“数是人类在精神上制造出来的最抽象的概念。”确实,即使像1,2这样最简单的数,要是和其他语言相比较,也是很抽象的,除了人之外,其他动物好像还没有知道数的。

然而有人认为鸟知道数。例如,杜鹃悄悄把自己的蛋产到黄莺的巢里,让黄莺替它孵蛋,它会把和自己的蛋数相同的黄莺蛋去掉。从这个事实来看,人们自然会产生这样的疑问:鸟不是会数数吗?德国的动物学家奥•凯拉作了鸟能数到什么程度的试验。但是以往这种试验,由于准备不充分,结果难以信赖。从前也曾有过这样奇怪的事情——马戏团的马因为会计算而闻名,可仔细研究一下就知道,是马的主人在不知不觉中送出一个什么信号,然后敏感的马回应了这个信号。

凯拉为了防止一些杂音混进来,小鸟放到一个院子里,让小鸟和实验者彼此都看不见,小鸟的动作用照相机自动拍下来。

实验对象就是乌鸦和鹦鹉。在鸟的前面放五个箱子(见图1-1),箱子盖上画着标记点,分别是2,3,4,5,6。箱子前面也放着画有标记点的盖子。预先让鸟作挑出与盖子上标记点相同的箱子的练习。经过充分练习之后,再让鸟作挑出同样数目的试验时,鸟能够出色地取得成功。而且即使把五个箱子的排列方法作各种变化或改变标记点的画法,也不会失败。  

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图1-1上面的试验是让鸟同时认标记点的个数。接着又作了按时间顺序数数的试验,先让乌鸦作这个练习,就是从许多食饵中按特定的数,例如取5个食饵来吃。取食的时候,摆好几个内部装有食饵的小箱,而顺序放入这些小箱里的食饵的数量是1,2,1,0,1,…。这个试验就是把箱子打开,让鸟只吃5个食饵。当吃的食饵少于5个时,就必定让乌鸦回笼子去。

这样一来,就会有惊人的事情发生。当鸟吃完装有一个食饵的第1箱以后,它就点一下头(见图1-2),吃完装有两个食饵的第2箱以后就点两下头,第3箱吃完点一下头,对空着的第4箱就不闻不问地跳过去,到吃完第5箱之后又点一下头,然后,据说脸上好像是“我吃完了”的样子,对第6箱不予理睬就离开了。

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图1-2点头的次数就是箱子里的食饵数,也许这是乌鸦预先记住食饵的数目,知道是不是够数吧。从这样的试验来看,会数数的不仅是人呢。我们人类的优越感就只好化为乌有了。

但是只凭这一点就断定鸟类知道数似乎还早了一些。为什么呢?这是因为要说知道数,必须有几个条件。我们看看这些条件吧。

1.3 一一对应

英国的数理哲学家巴特兰多•拉赛尔说:“要觉察到两天的2和两只雉鸡的2是同样的2,需要有无限长的岁月。”确实像拉赛尔说的那样,2这个数对于两个鸡蛋、两条狗、两个人、两只鸟、两本书都是共同的,所以即使把两个鸡蛋换成两棵树,2还是有没有变化(见图1-3)。

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1.3一一对应图1-3像这样把一个一个的鸡蛋和一棵一棵的树联系起来就叫做一一对应。但即使一一对应起来,2还是不变的。我们利用一一对应而数不变的这件事,就想出一种用容易数的东西来替换不容易数的东西。据说丰臣秀吉为了数山上的树木,就在每棵树上系一根绳头儿,然后再数这些绳头儿。这就是把树的集合以一一对应的方法转换为绳头儿的集合,然后再数。另外,根据一位旅行家的手记,说在马达加斯加岛,为了数有多少士兵,让每一名士兵走过队长面前时,投下一粒石子,然后数那堆石子。这也是因为士兵的集合与小石子的集合是一一对应的。寿司店在顾客每吃一个寿司饭团时,就在柜台上粘一个饭粒,以此来数吃过的寿司饭团数,这也是利用了一一对应而数不变的原则。

可是杜鹃知道这件事吗?它即使能找到与自己的蛋数相同的黄莺的蛋,那也是因为这两种蛋很相像吧。它似乎不会想到3个蛋与3棵树是同样的3。

一对一的数数从未开化到文明|数学与生活

不仅是鸟,很小的孩子好像也不知道这事。瑞士的心理学家皮亚杰做了以下的实验。把几个花瓶和一些花给一个5岁零8个月的孩子,让他在每一个花瓶里插一枝花。接着再把花拢在一起,问他是花多还是花瓶多,孩子回答说是花瓶多,因为把花拢在一起,能看见的少了(见图1-4)。把花一枝一枝地插在花瓶里就是一一对应的事,可是这个孩子却想不到花瓶与花的数目是相等的。我们必须认为这个孩子对于一一对应而数不变的事还不明白。如果人在孩提时代还不懂数是一一对应而不变的话,那么鸟或者蜜蜂就更不懂了吧。


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