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数学发展史:气象学与混沌理论开始的地方

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-14 18:03:17 84 0 数学发展史

当太阳完全被月亮遮住,原本耀眼的太阳就被月球阴影遮盖,大地陷入短暂的完全黑暗。这样罕见的天文现象就是日全食,它在一个地方发生的话平均要隔约 400 年。科学家早已预测出下一次的日全食将发生于 2021 年 12 月 4 日,最佳观测地点是(76°47.0′S,46°9.7′W)的南极洲伯克纳岛海岸东北约110公里的威德尔海。

这样掌握天地规律的关键武器背后就是数学,其实人类用数理模型来预测宇宙已有数个世纪。

数学发展史:气象学与混沌理论开始的地方

▲ 安提基特拉机械,古希腊时期为了计算天体在天空中的位置而设计的青铜机器,属于模拟计算机(图自维基,作者Therese Clutario)

在 19 世纪末前后,科学家基本上持笛卡尔物质宇宙观。也就是除了上帝之外,万物运行皆可用机械原理来找到解释。这样来看,如果可以测出宇宙中所有粒子的位置和速度,那么理论上,人类便能预知一切。

但如果当真如此,即使在这个超级计算机和大数据的时代,为什么世界上仍有一些难以预测的事件?如果我们能提前一个世纪预测日食,为什么我们只能提前一两个星期预测天气呢?

我们知道天气系统同样遵循物理定律,但它似乎也具有随机性。混沌理论广泛用于研究那些看似随机的系统,该理论先驱之一便是麻省理工学院气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨(Edward Norton Lorenz)。

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1940 年,洛伦茨获得哈佛大学硕士学位,当时的二战改变了他的职业生涯——毕业后即在空军服役。当时空军急需天气预报员,因此他前往麻省理工学院接受特训,学习气象学,并获气象学博士学位,留在学院任教,与天气预报领域先驱诺姆·飞利浦、朱尔·查尼共事。当时,洛伦茨试图构建一个数学模型,其中具备代表温度和风速等信息的变量,就像真实天气那样,这样他就可以用该模型来测试不同预测方法的准确性。

在第二次世界大战和随后数十年里,计算机使科学家在天气预报方面向前迈出了关键一步。洛伦茨获准使用“Royal McBee LGP-30”型真空管计算机进行建模工作,同时有数学系专家协助其改进相关程序。玛格丽特·汉密尔顿便是专家组之一,后来的阿波罗登月任务代码也是出自此人之手。

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▲ 玛格丽特·希菲尔德·汉密尔顿,1936年8月17日-至今。当时她的直接上司就是洛伦茨本人。

1961 年,洛伦茨正着手处理一组用来模拟大气流动的数学模型方程,其中 12 个变量会随着时间而改变。于是,计算机通过将前一时刻的变量值带入方程来计算下个时刻的变量值,洛伦茨对这一过程进行观察。他需要确保,该过程确实有效模拟了天气情况,而非仅是无意义迭代。

当时,洛伦茨团队需要重新打印部分模拟结果,他们会从较早的时间点重启程序,计算程序再继续进行。具体而言就是代入该较早点的数值重新作为起始值。既然数值和方程一致,他们确信两次程序结果抛出来会一致,但事实却并非如此,经常出现前后结果相去甚远的情况。

起初,洛伦茨认为电脑出了故障,但他最终还是找到了错误来源——数据的精度。虽然计算机的内存上存储的数字有六个小数位,但打印结果格式只包括三个小数位,因此输入值实际上具有微小误差。由此,洛伦茨意识到,在某些系统中,初始值的微小差异会导致未来行径发生巨大变化。

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科学家冠将这样情况称之为初值条件敏感性(Sensitive Dependence on Initial Conditions),这并非什么全新概念。早在 18 世纪 80 年代,伟大的法国数学家亨利·庞加莱在研究空间三体问题时就观察到了类似情况,这就是混沌思想的开端。

回到1963年,洛伦茨全身心投入于寻找一组最简方程,用来表达该系统的混沌情况。最终,他找到了一组简化方程,可以模拟大气对流过程,其中只有三个变量会随时间而变化。让我们尝试在现代计算机上绘制洛伦茨方程解在三维空间中的轨道。第一点的位置是任意的,对之后的每一点位置,计算机可通过将前一点数值代入方程计算得到。看起来轨道似乎是在随机改变方向,而且不会到达同一点两次——如若不然,轨道显然会进入重复迭代。这种类型的系统现在被称为"奇异吸引子"。

比如,下图随机给出 100 个点的位置,并将它们带入洛伦茨方程组。起初,它们的解轨迹看起来相当随机,但很快奇异的场景出现了。

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外围点形成的轨迹先是沿随机方向行进,但只要在限制域内,这些轨迹最终都会由外向到达吸引中心附近。这就是“奇异吸引子”一词中“吸引”的含义,而“奇异”则是强调轨迹并非真正落入吸引中心。每条轨迹保持独立,永不相交,这就意味着该系统中解轨迹仍由初值所决定。

当年,洛伦茨在一次学术会议上汇报其研究时,曾以一则气象学掌故作为汇报的结尾:“若海鸥振翅一挥,天气会因之而变吗?” 他真正想表达的是,说来描述天气变化的过程的非线性方程是如此不稳定的。这也就是平日所讲的“失之毫厘差之千里”这句名言所含意思吧。

让我们看看单摆锤。这是一个周期性的非线性系统,其运动具有重复性。如果我们从大致相同的位置进行两次释放,那么我们得到的两次摆动也将大致相同。

如果将两个摆锤一端相连,得到的仍是一个非线性系统,只不过这次是非周期性的。同样地,我们从大致相同的位置进行两次释放,而这回我们得到的两次摆动却大相径庭。就是洛伦茨所谓的"确定性混沌"。

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"确定性"是指系统演变过程仍由其遵循的物理定律所决定,尽管它看似随机。如果天气系统就是一个确定性混沌系统,那它为何如此难以预测也就很好理解了。但如果我们能以极高的精度扫描整个地球呢?即便我们大幅减少观测误差,最终仍不能提前预测天气吗?

在 1969 年发表的论文中,洛伦茨回顾了“海鸥振翅”的问题,他仔细观察了空气中的微小运动如何随着时间推移而扩大,以至影响整个大气系统,以及小规模测量误差如何导致预测结果最终出现严重偏差。为此,洛伦茨提出了一个数学模型,并得出惊人结论:模型中的系统只能预测到未来一小段时间,超出该范围,减少初值误差将不再提高预测精度。

洛伦茨并不确定真正的大气演变是否合乎这点,今天的我们也仍无法给出论断。但他的模型仍有重大影响,因为它表明,就可预测性而言,由物理定律决定的世界可能与完全随机的世界殊途同归。这无疑是对笛卡尔物质宇宙观的重大挑战。

1972 年,当洛伦茨在一次学术会议上介绍他最新相关工作时,由于他没有及时提供自己报告的标题, 会议主持人就替他拟了一个, 叫做“巴西的蝴蝶拍动翅膀会引发德克萨斯的飓风吗?”所以这只小小的蝴蝶,替代了最初的海鸥,成为了混沌理论的 “形象代言”。

混沌理论对诸多学科产生了越发深远的影响。洛伦茨 1963 年的论文在最初 10 年里不过只被引用了数十次,而 10 年之后,它却在几乎各个科学领域的论文中被引用了 9000 多次。

1987 年,詹姆斯·格雷克的一本畅销书《混沌:开创新科学》向世界介绍了洛伦茨和其他混沌理论先驱的有关工作,至此,"蝴蝶效应"成为流行文化的一分子。蝴蝶效应是一个理论,根据这个理论,即便最不起眼的情况经过一系列发展演变都有可能制造巨大灾难,譬如蝴蝶扇扇翅膀就可能带来一场龙卷风。

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▲ 天气变化莫测,为自然之奥秘所在

数学家还在继续构建更多非线性系统的数学模型,如果这些混沌模型是正确的,那么确定性混沌理论在一些重要领域大放异彩,包括金融市场,脑部疾病患者的眼动追踪,镰状细胞疾病发病机制以及人类和动物种群波动。

1992 年,麻省理工学院的科学家使用一台超级计算机模拟了整个太阳系近 1 亿年的未来运行情况,并最终发现真正有效的预测范围只有约 1200 万年。在那之后,行星可能发生相撞,也可能已脱离太阳系。

因此,即便是人类几个世纪以来一直预测的行星运动,可能也并不像我们之前想象的那么简单。

在朋友们眼里,洛伦茨安静、谦逊而不自夸。已知在他的职业生涯晚期,世界才开始将他奉为混沌这一新领域的先驱。1991 年,他获得了著名京都奖的基础科学奖。2008 年 4 月 16 日,洛伦茨与世长辞,享年 90 岁。他将以伟大科学家的身份名传后世,因为他从根本上改变了人类对宇宙的理解和看待自身与万物的视角。


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