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莫要轻视一元二次方程,理解它或许能拯救性命

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-01-14 18:07:54 75 0 方程

在开普勒那个年代,由二次方程所描述的椭圆曲线和自然界间的奇妙契合看起来非常不同寻常。这些曲线最终是否正确,在伽利略和牛顿未出现之前,人们一直在迷茫中等待。而最终答案的揭晓也说明了二次方程为何是如此重要:它是理解加速度的必要条件。

在 17 世纪初,意大利伽利略首先发现了这种联系。很多人都听说过伽利略,现代科学在欧洲萌芽时期发生科学革命中的重要推手,被后人誉为“现代观测天文学之父”、“现代科学之父”等等。他在职业生涯的最后阶段,一直专注于与西班牙宗教法庭展开的一场史诗般的决斗——支持哥白尼日心说理论的正确性。然而,在此之前,他把大部分时间用于研究物体是如何运动的。

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早在伽利略之前,古希腊科学家亚里士多德就已经指出,物体在自然状态是静止的,且较重的物体比较轻的物体下落速度更快。伽利略对这两个已被公认的观点提出了质疑,他研究工作的核心是动力学,而动力学与很多重要的运动存在巨大的关联性,比如知道何时(及怎样)刹车和怎样在橄榄球赛中踢出一个完美的落踢射门等等。这些都离不开清楚理解加速度的概念以及二次方程在里面如何发挥的作用。

莫要轻视一元二次方程,理解它或许能拯救性命

如果一个物体沿着某个方向运动,那么,在不受外力的情况下,它将沿此方向继续做匀速直线运动。我们称这个速度为 v。现在,假设质点从 x=0 处以这种方式运动了时间 t,那么它现在的位置可由 x=vt 算出。通常情况下,质点都会受到外力作用,如橄榄球会受到重力作用,刹车时会受到摩擦力作用。聚焦到牛顿定律,我们知道质点在恒力的作用下产生恒定的加速度 a。假设初始速度是 v₀ ,那么经过时间 t 后,速度 v 可由 v=v₀+at 算出。伽利略意识到我们可以用这个表达式算出质点的位置。特别是,当质点的起始位置是 x=0 时,那么,在 t 时刻质点的位移 s 可由以下公式算出:

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这不过是一个关于时间 t 的一元二次方程,但对我们来说却具有许多重要的含义。比如,假设我们知道施加到一辆车上的制动力,就能由这公式可以算出在时间 t 行驶了多远,或相反的,算出 t 来,汽车行驶了给定距离究竟花了多长时间。

一个很重要的应用是弄清一辆车在给定速度 u 下运行的制动(刹车)距离。假设一辆车以这样一个速度运行,从开始刹车到完全停下车究竟花了多长时间?因为这意味着可能避免一次事故。特别的,如果一个均匀加速度 -a 来将速度由 u 减到 0,解出并替换,得出制动距离 s:

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这个结果对我们所有人都很重要,原因在于它揭示了制动距离是初始刹车速度的平方,而非只是翻一番。在这个一元二次方程式里,我们得出明确的证据,为什么在城市我们应该以慢速行驶,因为开得稍微快点就会导致刹车距离大幅度的增加。正确地解出并理解这个方程式,某种意义上,是能够守住你的钱包,甚至是生命!

另外,这个把时间和距离联系到一起的简单一元二次方程也是弹道学的基础,弹道学研究物体在重力下运动的方式。在这种情形下,一个物体以不变的加速度 g 沿着 y 方向下落。与此对应的是,它以匀速(不考虑空气阻力因素)水平地沿着 x 方向运动。如果它以速度 u 沿着 x 方向和速度 v 向上在位置 x=y=0 开始,伽利略能够给出时间 t 时的位置:

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或者换个形式,我们得出下面的式子:

莫要轻视一元二次方程,理解它或许能拯救性命

另外表示形式的一元二次方程,这次把 x 和 y 联系到一起。让人惊叹的是轨道的最终形状,理所当然的是熟悉的抛物线。

假设在橄榄球比赛的最后一刻,必须踢出一个完美的落踢射门。球员就必须以正确的角度和速度踢球,从而球在空中飞行一个距离 x 到达球门时,它才能有恰当的高度 y 去进入球门柱。为了达成这个目的,实际上是在解一个一元二次方程式。当然在比赛中极度亢奋状态,球员应该是无暇思考计算,那就靠平日的重复训练,将数学应用深刻在肌肉当中了。

莫要轻视一元二次方程,理解它或许能拯救性命

每秒30次拍摄的跳跃的球所形成的抛物线轨迹(图自维基Richard Bartz摄

更一步说,这样轨道的抛物线方程,实际应用当中考虑到空气阻力、抛物旋转和地球自转等因素进行修正后,就是火炮发射计算的基础,所以说这个军事上的应用都是在遵循伽利略发现。

不仅如此,伽利略还提出了钟摆原理的理论基础。大约在 1600 年,伽利略不得不参加在比萨大教堂礼拜仪式。在布道百无聊赖之际,他注意到教堂顶部中央一个铜制大吊灯的来回摆动,进行了仔细观察,并根据测算自己的脉搏而有了一个了不起的发现:等时性——吊灯摆动的时间和摆动幅度无关。即无论摆动幅度多大,摆动的周期运动时长总是一定的。这个发现导致了吊钟和钟表的发明,比如落地式大摆钟,但是在那时伽利略还不能科学地解释这个现象。为了解释这个现象,我们需要借助下一篇文章中另一个二次方程。


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