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如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

xiawuyouke 趣味数学题 2022-01-15 22:45:28 96 0 函数

如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

本文作者:刘瑞祥,[遇见] 这里感谢刘老师投稿支持!

很多数学老师觉得,无论怎么样学生也不会平移函数图像,比如你要问 y=x²+2x+3 是由 y=x² 怎么移动过来的,学生总是答错,特别是左右平移。那应该怎么解决呢?

如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

问题确实不好解决,但也不是完全没有办法。这里的关键是,学生有时未必能说清自己的困惑,这就需要老师通过观察、谈话等方式,找出症结所在。就以本文谈的问题而言,各位老师们,你能看出学生哪里没有想明白吗?这个问题先放在这里,我们先看看该怎么给学生讲。

在对前面的函数配方成为 y=(x+1)²+2 以后,一个最好的方法是用特殊值法:原来函数图像的顶点(0,0)现在变成了(-1,2),所以函数是向左移动了 1 个单位,向上移动了 2 个单位。至于顶点为什么是(-1,2)而不是(1,2)也很容易解释,那是因为可以容易看出顶点纵坐标是 2,既然如此,让配方后的函数值等于 2,就容易得到这时的 x 等于 -1 了。

我曾经说过,会做题不难,难在明白。具体到本文,学“明白”就是要想通这个问题:为什么和纵向移动有关的那个+2(这里关键是大于 0,具体数值倒在其次)就能让图像上移,而和横向移动有关的那个+1(注意也是大于 0)却让图像左移?为什么会有区别?如果学生想不通,将来还会出问题,比如以后遇到正余弦曲线的时候。我想先问问读者中的老师,你们怎么给学生解释?如果要问我,我会让学生把 +2 移动到等号左边变成 -2。这样的好处是:首先,和左右移动有关的数紧挨着 x(注意是(x+1)的完全平方),而和上下移动有关的数(-2)紧挨着 y;其次,既然和上下移动有关的数字(现在是 -2 了,小于 0)能让函数上移,那么和左右移动有关的数字(+1,大于 0)让函数左移,也就不难理解了。

如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

“紧挨着”很重要,你能从上面两个式子中看出“紧挨着”的意思吗?

话说到这里,我要说一下我的教学观点: 有时学生思想中的死疙瘩需要特殊方法才能解决,以本文中的抛物线来说,学生会问:函数式里和 y 有关的 +2 为什么能让图像向上(正方向)运动,和 x 有关的 +1 为什么就让函数向左(负方向)运动?这种奇怪的区别是怎么造成的?我们把 +2 移到左边变成 -2 就可以看出其实没有什么不同。

另外一个经常让数学老师恼火的事情是,初中讲函数的时候经常移动函数图像,而高中讲解析几何的时候却经常移动坐标轴,偏偏这两者对方程的影响是相反的。我个人觉得,初中讲函数时的重点是研究变量之间的关系,比如我们先研究了一个自由落体的运动方程,再研究一个抛体运动的,就要把自由落体的运动方程平移一下。但是解析几何经常需要根据问题研究的方便程度来设定坐标系,这就涉及坐标的移动。但是无论哪种情况,只要掌握了特殊值法(特殊值可能是图形的某个顶点,也可能是直线和坐标轴的交点,或者是有心曲线的中心等等),再弄清楚“动”的是谁,就可以了。

举例来说,两个圆,一个是 x²+y²=1,中心是(0,0);另一个是(x+1)²+(y-2)²=1,中心是(-1,2)。如果前者经过图形平移成为后者,那就是图形左移 1 个单位,上移 2 个单位;如果是前者经过坐标轴平移成为后者,则坐标轴右移 1 个单位,下移 2 个单位。为避免混淆,可以在草稿纸上画出坐标和图形,如果是图形移动就画两个图形,如果是坐标移动就画两套坐标轴(无论是移动谁,都把后来的画成虚线以示区别)。有的同学画不好圆,也可以只用箭头标出圆心或者原点移动方向。以下是我手画的结果,读者凑合看吧。之所以徒手绘制而不是用电脑或者尺规,就是为了给同学展示考试时应该怎么画。

如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

下面谈谈正弦函数图像的问题。假如已经画出一条标准的正弦函数 y=sin(x) 的图像,怎么画出 y=3sin(2x+π/4) 的图像?

这里 3 倍不是关键问题,所以下面略去,重点是作为正弦函数括号里的 2x+π/4,有两种方法解决:一是先处理 2 倍,再处理 π/4;二是先处理 π/4,再处理 2 倍。无论哪种方法都要分成两步,而我们对每步都只要,也必须只要关注一个方面。换句话说,你在作第一步的时候不要考虑第二步,作第二步的时候也不要管第一步曾经是怎么来的,仅需要从第一步的结果出发就可以。

下左图这个变化图就是先处理 2 倍,再处理 π/4 的。注意我们的第一步是把图像从原点位置压缩到原来的 1/2(因为这个 2 倍系数紧挨着 x),然后再向左平移 π/8,因为这时要让这个数字紧挨着 x,就得把它变成 2(x+π/8)的形式。

如何理解平移函数的图像?从二次函数平移谈起

上右图是第二种方法:先处理 π/4,再处理 2 倍。这时先向左移动 π/4,再从原点位置横向压缩图像到原来的一半。


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