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数字真奇妙系列:道生一,一生二

数字真奇妙系列:道生一,一生二

本文作者刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

先和大家聊聊一,然后再聊聊二。

一、了不起的一

一是自然数的单位。经常有人问,零是不是自然数?答案是,你可以认为它是,也可以认为它不是。因为所谓“自然数”,按现代数学的观点,就是符合“皮亚诺公理”的数,这套公理说,要有一个自然数,每个自然数要有一个后继,不同的自然数的后继不一样……你可以把最开始的那个自然数定为 1 或者 0,这对后面的研究没有什么影响。如果怕产生歧义,那么你可以说明一下——“本书所讲自然数,包括(或者不包括)零”。

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《数学原理》卷I,第1版,379页关于 1+1=2 定义

不要以为 1 很简单,罗素和怀特海的巨著《数学原理》里直到第 363 页才有了一个定义,而 1+1——就是小学算术里的 1+1,不是哥德巴赫猜想——则到了第 379 页才有了答案。我没有查到过这本巨著的中文版,是根据卢昌海的个人网站说的。即使在我们普通人能理解的范围里,1 的内容也很丰富,比如 1 是乘法的单位元,翻译一下就是任何数和 1 相乘结果不变。再比如,前面说的“后继”,就是指每个自然数后面有唯一的一个数,用“人话”来说就是每个自然数加上 1 就得到下一个自然数。

在解析几何里,一次方程是最简单的直线或者平面,也叫做线性方程。行列式、矩阵这些东西都和一次方程有着密切的联系,而微积分的基本思路就是以直代曲。

万丈高楼平地起,再伟大的事业也要从一开始,万里长征是一步步走出来的,不能一口吃成胖子。只是有人经常忘记这个道理,恨不得能一步登天。

二、和一密不可分的二

老师们爱说“有一就有二——你这次忘写作业,下次就还会忘”。事实上很多人也是第一次做了错事后又做了第二次,于是陷入泥潭不能自拔。

哲学上到底是应该“一分为二”还是“合二为一”是个问题。《易经》上说“无极生太极,太极生两仪”,于是有了万物。

两点确定一直线,这是最简单的几何公理。所谓公理,现代数学里指的是一种约定,或者说是对基本概念的定义。这条公理是说,如果有两个“东西 A”能决定另外一种“东西 B”,那不妨就把东西 A 看作是点,把东西 B 看作是直线。比如你可以把球队看作点,把比赛看作直线——你在计算 10 支球队能打多少场不同比赛的时候,是不是和计算 10 个点能形成多少直线的方法一样?至于点和球队的不同,从这条公理上是看不出来的。

牛顿力学里说到力必须有两个物体——受力物体和施力物体,而“惯性力”因为是假想出来的所以没有施力物体,爱因斯坦说引力和惯性力其实是一回事,于是诞生了广义相对论。

太阳系里只有一个中心,但从地球上看月球和太阳差不多大小,于是阴阳和谐。地球上既能看到日全食,又能看到日偏食和日环食,让人类足不出地球就能窥见不少秘密。

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▲ 电偶极子场强和电势示意图

单独一个点电荷产生的电场,场强和距离的平方成反比,电势和距离的一次方成反比,二者都是对电场的完整描述。单独的氢原子、氧原子不能稳定存在,必须达到两个才行。电偶极子——两个相距很近具有等量异号电荷的点电荷——对外产生的场强和距离的三次方成反比,为什么会比单独一个点电荷衰减得快?因为总电量为 0 嘛。推而广之,电四极子、电八极子产生的电场衰减更快,所以我们平常的物体只要总电量为 0,就对外界几乎不产生静电力,因为宏观物体都已经不知是电多少极子了。这保证了我们宇宙的正常运行。

三、数学上的二

二在数学上的意义一言难尽。众所周知,曲线的一阶导数对应着切线斜率,二阶导数对应着凹凸性。二次方程、二次函数是初中数学的重点和难点,也是走向更高深数学的起点,比如二阶线性微分方程就和二次方程有着密切的联系。而圆锥曲线,也就是二次曲线,是行星天文学的基础。但早在古希腊时期,就有学者仔细研究了圆锥曲线,并将其系统化。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》诞生的时候还没有坐标系和完备的数学符号,完全用纯文字的方式清晰地叙述各个命题,单凭这一点就让人佩服。据说古希腊语特别严谨,单是定冠词就有 20 多个,这是不是古希腊产生复杂数学、哲学体系的原因呢?这本书的成就一直到笛卡尔时代才被超过。数学上关于二的最高成就也许是高斯创造的,他在经典著作《算术探索》里仔细研究了二次同余方程和二次不定方程。

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看不懂这两本书没关系,经典本来就不容易读懂,我介绍一个大家看得懂的问题。我们可以方便得把线段、角和圆弧二等分,而这些作图方法用不着平行公理,也就是说在任意空间里都能进行。而且既然能二等分,那自然也可以四等分、八等分乃至十六等分等等。而我们知道 1/2+1/4+1/8+1/16…的极限是 1,或者说,我们先对一个量取它的一半或更多,然后再取剩余的一半或更多,这个过程一直进行下去,最后剩余的就会少于任意事先给定的量。《几何原本》里用这个方法证明了圆的面积和半径平方成正比、棱锥体积是等高棱柱体积的三分之一,球的体积和半径的三次方成正比,这就是所谓的穷竭法,证明过程极其美妙。

四、计算机和二

先说个具体问题。计算机绘制曲线的基本工具是“贝塞尔曲线”,其中最简单的是二次贝塞尔曲线:给你三个点,其中两个是曲线端点,另外一个是两个端点处切线的交点,就可以用二次参数方程描述这个曲线了,计算起来非常简单,但是画出来的效果往往不够好,于是有了三次或者更高次的贝塞尔曲线。

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二次、三次贝塞尔曲线的结构(图自维基)

计算机和二更紧密的联系是计算机采取二进制,“逢二进一”,大大简化了电路设计,由此导致各种存储器的容量都用 2 的若干次幂为单位。我记得大学时学汇编语言的时候,一单片机采集 256 个数据然后计算平均值,只需要把这些数都加起来然后舍弃最低的字节(相当于除以 256 并舍弃余数)就可以了。同时我们要注意到,计算机不但是计算工具,更是逻辑机器。而经典的逻辑是二值逻辑,是和非不容模糊,所谓排中律、矛盾律都与此相关。

有人说二进制是多么伟大的发明,其实如果不是误打误撞地遇到了计算机,根本没有什么用。也有人说,中国古代的阴阳或者八卦就是二进制,那是误解,顶多可能对莱布尼兹他们产生一点启发,因为阴阳也好,八卦也好,都不是形式系统,你总不能说“乾卦”就是数字 7 吧。这么说不是瞧不起中国古人,我们古代有不少比这确切、辉煌的成就,而且如果真的启发过莱布尼兹,那也就不简单了——《肘后方》不就启发了屠呦呦吗?


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