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正五边形中的五个有趣的问题

正五边形中的五个有趣的问题

本文作者刘瑞祥,[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持!

正五边形是一种非常重要、也非常美观的图形,本文就谈谈有关正五边形的五个问题,文章中没有把每一点都完全说透,很多只是给出提示,希望大家有兴趣进行研究。文中还列出了多本著作,也希望大家尽可能找到这些书来读。

一、正五边形中和黄金比例

正五边形中的五个有趣的问题

正五边形最为人所熟知的性质,是其中有很多黄金比例:

正五边形中的五个有趣的问题

这可能是人类发现的第一个无理数,比 √2 都早,这么说的理由是据说毕达哥拉斯学派非常喜欢正五边形(五角星),将其作为自己学派的标志,当然会深入研究正五边形的性质。但是,古希腊人证明两个量是否可公度——用现在的话说是证明一个数是无理数——的方法是,用大量连续减去小量,得到一个比小量还小的量,然后再从原来的小量中连续减去上一步新得到的小量,得到新的小量……如果这个步骤一直进行下去而不能终止,则两个量不可公度。那么,具体到正五边形中的这个比例怎么证明呢?请阅读项武义、张海潮、姚珩合著的《千古之谜与几何天文物理两千年》(高等教育出版社2010年版)。

二、正五边形与正六边形、正十边形的关系

进一步的研究表明,正五边形、正六边形、正十边形有着十分密切的联系。比如这三个多边形的边长可以构成直角三角形的三条边(结论一),再有则是正五边形内接圆直径是正六边形、正十边形的边长和(结论二)。这在现代数学中只要计算不出问题即不难验证,但是早在古希腊人们就用传统的综合法发现并证明了其中的部分内容,真了不起。大家可以参见十五卷本的《几何原本》(上海古籍出版社2002年版《续修四库全书 1300 子部·西学译著类》),看看书里还提到了正五边形的哪些性质。如果只看结论一,也可以看近年出版的十三卷本的《几何原本》,我推荐兰纪正、朱恩宽或者张卜天的译本。

下面简述一下结论一的证明方法,请大家领略一下《几何原本》的证明艺术:

正五边形中的五个有趣的问题

图中 F 是圆心,AB 是内接正五边形边长,AK 是内接正十边形边长。书里先证明两个三角形 BFN 和 BAF 相似,得到 BF²=AB×BN,再证明了 AKN 和 ABK 相似,得到 AK²=AB×AN,二者相加即得到 BF²+AK²=AB(BN+AN)=AB²,其中 BF 既是圆的半径,也是该圆内接正六边形的边长。这里的关键是点 N 的取法:左图中的 NF 和右图中的 AK 垂直。

下面是结论二的图示,根据正五边形、正十边形各角关系,见图即明:

正五边形中的五个有趣的问题

三、正五边形的做法

在尺规作图方面,正五边形算是比较复杂的了。我最近特意从网络上找到了人民教育出版社1981年版的全日制十年制初中几何课本,只有做法而无证明(下左图),大概是这个证明需要用到36度的三角函数,超出了初中范围,不知道读者中有没有人能够用初中知识证明的。而《几何原本》中是这样作的:先作一等腰三角形,腰和底边之比为黄金比例,可以证明这个此等腰三角形的顶角是36度(下右图),继而在此基础上可以作出正五边形。而在《圆之吻——有趣的尺规作图》(莫海亮著,电子工业出版社2016年版)一书中,作者给出了正五边形的二十四个尺规作图方法,后面还有若干单规、单尺作图法。不过虽然作图方法多种多样,具体实现起来还是很复杂,我现在还记得初中时数学老师为了给我们演示正五边形作图方法而不得不拼凑调整的糗事,这大概是因为粉笔笔画较粗难以精确而圆规的头部又比较松散的缘故吧。

正五边形中的五个有趣的问题

正因为精确的正五边形难画,所以才有了下面的近似做法,可以记做“五九顶九五,八五分两边”:

正五边形中的五个有趣的问题

这两年折纸很火,如果你在网络上搜索正五边形的折叠方法,也可以找出一大堆,但是其中大部分是近似折法,大家自行判断吧。特别说一句,其中比较有趣的是用打结的方法制作正五边形,而且这个制作是精确的。

四、正五边形和正方形的相互转化。

在数学上,可以把任意一个多边形经过分割、重组变成等面积的另外一个,这在数学上被称为“华勒斯·波埃伊·格维也纳定理”,而其中尤为大家重视的是各种复杂的多边形向正方形的转化。正五边形当然也可以变成等面积的正方形,下左图见于《奇妙的正方形》(【苏】科尔杰姆斯基、鲁萨列夫著,曾一平译,中国青年出版社1955年版),右图见于《圆之吻——有趣的尺规作图》:

正五边形中的五个有趣的问题

至于具体作图方法,这里就不“剧透”,烦请大家自行研究。如果你已经会了这个问题,那么不妨考虑其逆问题——把一个正方形分割重组为等面积的正五边形,看看哪个作图过程叙述起来比较方便。如果你有其它分割方法,也欢迎发表出来。

五、正十二面体和正二十面体

接下来我们要跳出平面的范围,来看看立体几何。在五种正多面体中,和正五边形关系最密切的是正十二面体和正二十面体。

正五边形中的五个有趣的问题

这两个正多面体有什么关系吗?我觉得其中最惊人的是,如果二者的外接球半径相同,则二者每个面的外接圆半径相等。你能证明这个结论吗?另外,如何在给定的球体内作出内接正十二面体和正二十面体,作这两个多面体还有什么简单方法,请参阅《几何原本》(部分内容见于十五卷本)和《数学的魅力》(沈康身著,上海辞书出版社2006年版)。


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