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利用杨辉三角形来解释二项式定理

xiawuyouke 趣味数学题 2022-01-26 11:38:01 126 0

利用杨辉三角形来解释二项式定理

我对二项式定理(Binomial Theorem)的热爱无以言表,它看上去有很多数学符号,但本质上是用组合的方法来解决一个长得可怕的代数问题。尤其在你邂逅美妙的杨辉三角时,就会更感受到的数学不可思议之处。

但当第一次遇到它的时候,二形式定理中这些并不熟悉的数学符号可能会让你望而生畏。看下面的整个公式,有求和 ∑ 符号,带有阶乘的组合公式,还有各种指数都在其中。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

其中从 n 个元素中选取 k 个元素的组合公式为:

利用杨辉三角形来解释二项式定理

二项式定理其实是一个二项多项式乘以自己 n 次最后展开得到的结果。下面就是一个抽象展开式,说明如何将二项式相乘 n 次的结果。实际上,这样教科书般的展示方式很难阅读。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

不要担心,这个公式实际使用并不太难,通过此文可以了解一个复杂的二项式是如何展开。

二项式定理的运用

让我们从一个简单的例子开始,假设我们想用算出 ,即便用逐项来乘这也并不难做,但是让我们使用下二项式定理,以便于当你遇到更大的展开式,例如二项式的指数提升到 4,5,6... 时,你会知道如何正确地去做。

首先,你需要确定二项式的两项(上面公式中 x 和 y 的位置)和要展开的幂指数(n)。二项式定理的奇妙之处在于无需真得把一堆二项式相乘就可以找到展开的多项式。

另外,请注意最后展开的多项式的项数总是比要展开的幂指数大 1,这意味着如果幂指数是 3,则展开后多项式有 4 项。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

例如,展开(2x-3)³,这两项是 2x 和 3,幂指数 n 的值是 3。注意,每当你在二项式中做减法的时候,一定要记得把减号作为负号写在相应的项上。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

每一项都有一个(2x)和(-3)以及 n=3 的“n 选 k”公式。你可以写下 4 次,每一项都写一次,把 k 的值留在“n 选 k”公式里,幂指数暂时为空。

接下来你要填入 k 值和幂指数。这里增加每一项的次数你可以遵循求和公式,只要遵循这些模式就很简单了。

“n 选 k”中的 k 值将从 k=0 开始,每一项增加 1,最后一项应该是 k=n,在这种情况下 n=3,k=3。然后我们需要在(2x)和(-3)上加上幂指数。

(2x)上的幂指数从 n 开始,所以这里是 3,每一项减少 1,直到 0。(-3)的幂指数从 0 开始,每次增加 1 直到 n,在这个问题中是 3。

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因为任何数的 0 次幂都等于 1,所以可以先简化带有 0 次幂的项。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

接下来,尽可能地简化这些幂。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

杨辉三角形中隐藏的捷径

二项式定理展开式中每一项系数(即二项式系数)由两个非负整数 n 和 k 来决定 。

这个数其实表达了从 n 个不同元素中取出 k 个元素的一个组合。最直接的方法是对每个问题应用下面组合数公式来计算,但是我们要借助杨辉三角走点捷径。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

杨辉三角形是一个简单而强大的三角形,又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形,它的排列形如三角形。杨辉三角的前 10 行写出来如下:

利用杨辉三角形来解释二项式定理

这是很棒的一部分,隐藏在杨辉三角里的是能解决任何“n 选 k”的答案!它就像一个秘密的小作弊技巧!下图显示了隐藏的“n 选 k”的位置。

利用杨辉三角形来解释二项式定理

对于这个问题,我们需要解出:3 选 0,3 选 1,3 选 2,3 选 3,也就是第四行的所有值。所以我们需要做的只是查找杨辉三角的第四行并把答案匹配起来。

第四行的值是 1,3,3,1,所以只需带入 n 选 k 的值。

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最后,你要做的就是将每一项相乘,并化简为最简形式。不要忘记检查你的最终答案以确保每一项的幂指数仍然加到了原来的二项式上。相信我,在这类问题中很容易出现抄写错误。

最后的答案:

利用杨辉三角形来解释二项式定理

二项式定理看起来非常令人头痛,但是如果将其分解成更小的步骤并检查各个部分,它展开的过程也并不复杂。

如果指数 n 推广到任意实数次幂,即牛顿在 1665 年所发表的广义二项式定理,这个定理不仅是微积分发明的基础,也牛顿众多数学发明的起点,或许在未来的文章中会单独讨论。


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