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在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-11 22:29:30 71 0 数学模型

在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

SIR 模型

SIR 模型(易感者 susceptible、感染者 infectious、痊愈者 recovered),在流行病学中占据了中心位置

由于这个模型起源于流行病研究领域,同时也因为考虑传染病的痊愈更为自然,因此我们以传染病的传播为例来描述 SIR 模型。为了避免过于复杂的数学计算,我们假设治愈传染病的人会重新进入易感人群,也就是说治愈传染病并不会产生未来对传染病的免疫力。

在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

其中,Pcontact, Pspread, Precover 分别等于传染病的接触概率、传播概率痊愈概率。

流行病学家对接触概率和传播概率会进行单独跟踪,我们也会这样做。接触概率取决于传染病如何从一个人传播到另一个人。艾滋病通过性接触传播;白喉通过唾液传播;流感病毒通过空气传播。因此,流感的接触概率高于白喉,白喉的接触概率又高于艾滋病。而且,在发生接触后,各种传染病的传播概率也会有所不同。白喉比 SARS 更容易传染给另一个人。

SIR模型会产生一个临界,就是所谓的 R0,也就是接触概率乘以扩散概率与痊愈概率之比。某种传染病,如果 R0 大于1,那么这种传染病就可以传遍整个人群,而 R0 小于 1 的传染病则趋于消失。在这个模型中,信息(或者,在这个例子中是传染病)并不一定会传播到整个相关人群。能不能做到这一点取决于 R0 的值。因此,像疾病控制中心这样的政府机构必须依据对 R0 的估计来指导政策制定。

在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

如表11-1所示,麻疹可以通过空气传播,因而它的再生数高于艾滋病,艾滋病只能通过性接触和共用针头传播。对 R0 的估计假设人们不会为了应对传染病而改变行为。

在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

然而,当学校里虱子肆虐时,家长的反应可能是让孩子待在家中,以降低接触概率,还可能会剃光孩子的头发,减少接触发生时传播的可能性。这两种行为变化都会降低虱子传播的 R0。

在没有疫苗的情况下,检疫是一个选择,但是成本很高。如果存在疫苗,那么疫苗接种可以预防传染病传播。即便做不到每个人都接种疫苗,也可以预防传染病传播。必须接种疫苗的人的比例,即疫苗接种阈值(vaccinationthreshold),可以通过公式 V≥ (R0-1)/R0 求出。我们可以从上述模型中推导出这个公式。

在流行传染病学中占据了中心位置的SIR模型

疫苗接种阈值随 R0 的增加而提高。例如,脊髓灰质炎的 R0 为6,因此为了防止脊髓灰质炎的传播,疫苗必须覆盖5/6的人群。而麻疹的 R0 为15,为了阻止麻疹的传播,疫苗必须覆盖14/15的人口。疫苗接种阈值的数学推导也为决策者提供了指引,如果接种疫苗的人数太少,这种传染病就会传播开来,因此政府接种疫苗的次数会超过模型估计的阈值。对于麻疹和脊髓灰质炎等 R0 非常高的传染病,政府将努力保证所有人都接种疫苗。

有些人担心疫苗有副作用,选择不参加疫苗接种计划。如果这些人只占人口的一小部分,那么其他人接种疫苗也可以防止这些人感染这种传染病,流行病学家将这种现象称为群体免疫力。选择不接种疫苗的人事实上是搭了其他接种疫苗的人的便车。

尽管SIR模型原本是用来分析传染病传播的,但是我们也可以把它应用于所有通过扩散传播,然后趋于消失的社会现象例如书的销售、歌曲的流行、舞步的风行,"热词"的传播、食谱和健身方法的流传等。在这些情况在这些情况下,我们也可以估计接触概率、传播概率和"痊愈"概率,以及基本再生数 R0。这个模型意味着,这些概率只要发生了微小的变化,就可以使 R0 移动到高于零的水平,从而造成成功与失败之间的天壤之别。

病毒毒力的轻微减少。就可以使大规模传染病为轻微的疾病;歌曲传唱概率的小幅变动,就可能把一直热门的新乐队送上天堂或打入地狱,区别之大,恰如披头士乐队与一直在利物浦某个地下酒吧卖唱的乐队之间的区别。


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