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恋上古埃及分数:有理数都可以写成不同的单位分数的和

恋上埃及分数

1.追本溯源

传说古埃及一个老人临死前,立下一分奇怪的遗嘱,遗嘱说:家中有十一头驴,将在他死后分给三个儿子,一半分给长子,四分之一分给次子,六分之一分给小儿子。

老人死后,三个儿子为怎么分配驴,而发愁。十一头驴的一半是五头半驴,总不能将驴杀了吧,正在无奈之际,只见有一个头戴穆斯林民族白色缠头,身穿白袍,倒骑着一头小毛驴的人经过,他不就是那个大名鼎鼎的爱捉弄黑心商人、贪婪法官、伪善财主的阿凡提吗?兄弟仿佛遇到了救星,愁眉变笑颜。兄弟们立马叫住了阿凡提,并讲述了事情的经过。

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阿凡提听后,把自己的毛驴牵到十一头驴中间,然后便开始按老人的遗嘱,分六头驴给老大,刚好是一半,然后又分三头给老二,也刚好是四分之一,最后分二头给老三,也刚好是六分之一。总数是十一头驴。然后剩下的头就是阿凡提本人的。

兄弟仨人非常感激,这个故事代代相传。直到今天 "阿凡提"这个名字在埃及都家喻户晓,甚至在人们的日常生活中经常能听到。它演变成了一种对人的尊称,意思相当于"先生"。

实际上故事中的道理用数学语言表述,即是

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古埃及人,喜欢用几个分子是1的分数之和来表示有理数,这种分子为1的分数,后来就称作埃及分数,也叫单位分数

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▲ 埃及分数表示法(图自维基)

埃及分数有一些有趣的性质,如

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更有趣的是下面是如下的等式:

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式中右边前几个分数中的分母,是最小分数之分母除去1与自身之外的所有的约数。如果两边同时乘以最大的分母,我们发现这个最大的数,是除去自身之外的所有约数之和。这种整数最早是公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。

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毕达哥拉斯曾说:"6象征着完满的婚姻以及健康和美丽,因为它的部分是完整的,并且其和等于自身。"有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字,因为上帝创造世界花了六天,二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说:"6这个数本身就是完全的,并不因为上帝造物用了六天;事实上,因为这个数是一个完全数,所以上帝在六天之内把一切事物都造好了"。

如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为"完全数"。完全数(Perfect number),又称完美数或完备数。

数学家欧拉曾推算出完全数的公式:如果 p 是素数,且 2^p-1 也是素数,那么 (2^p-1)2^(p-1) 便是一个完全数。2^p-1很明显是一个梅森素数。

是不是越来越有趣了!难怪阿基米德也研究过单位分数。1950 年(这个问题与我们中华人民共和国差不多同岁就好)Paul Erdős(保罗·埃尔德什)猜想:对于 n>1 的正整数,方程

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恒有正整数解。这就是著名的埃及分数(Egyptian fraction)问题。

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Stralss进一步猜想,当n≥2时,方程的解x,y,z满足 x≠y,y≠z,z≠x,x<y<z。

1963年柯召,孙奇,张先觉证明了Erdős猜想与Stralss猜想等价。

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有些朋友可能不以为然了。就这样一个小学初中的分数问题,是一个著名的问题?我说是的,先来说下Stralss。他可是爱因斯坦的助手,德国出生的美国数学家。对于Erdős,(埃尔德什,跟我国鄂尔多斯高原同名,一看这个名就有一种辽阔的感觉)有着"现代的欧拉"、"数学莫扎特"之美称。他跟中国数学家,柯召是好友。熟悉数论的朋友,应该都会了解柯召是何许人也。想必不少人用过他跟孙奇编的数论教材吧。另外还有一个美丽的数学爱情故事跟Erdős有关。

在1933 年,匈牙利数学家 George Szekeres 那时还只有 22 岁。他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。当时的Erdős 年仅 20 岁。

在一次数学聚会上,一位名叫 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个命题:在平面上随便画五个点(其中任意三点不共线),那么一定有四个点,它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿,没想到该怎么证明。于是,美女同学得意地宣布了她的证明:这五个点的凸包(覆盖整个点集的最小凸多边形)只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了,而对于第三种情况,把三角形内的两个点连成一条直线,则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧,这四个点便构成了一个凸四边形。

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众人大呼精彩。然而Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘,于是尝试对其进行推广。最终,他们于 1935 年发表论文,成功地证明了一个更强的结论。 Erdős 把这个命题叫做"幸福结局问题"(Happy Ending problem),因为这个命题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起,两人在 1936 年结了婚。最后的结局也真的很幸福。结婚后的近 70 年里,从未分开过。 2005 年 8 月 28 日, George 和 Esther 相继离开人世,相差不到一个小时。

也许因为思考Erdős猜想的问题,会带来吉祥幸福吧。华裔澳大利亚数学家陶哲轩也研究过这个问题。

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Erdős(左)与陶哲轩(右)

美国出生的英国数学家莫德尔(Model)证明了,当 n-1 不是 24 的倍数时,n≤10^14 猜想成立。迄今为止,人们已验证当时猜想正确。可是,我们仍不知是否对所有的 n 或几乎所有的 n 猜想成立。

1956年,波兰数学家席宾斯基猜测,对于任何 n>1,方程

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恒有正整数解。

上述两个猜想至今未获得证明或否定。这个问题难倒了世界上第一流的数学家。至此,我说这是一个著名的问题。应该没有人有疑义了吧。另外如果你是单身,或者渴望幸福美满的爱情。思考这个问题,会给你带来好运哟!!!

2.初窥门径

以小学初中数学为题材的问题,竟然这么难。是不是有一种跃跃欲试的冲动呀。对于(1.5)式,

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如果n为偶数,不妨假设:n=2m,则(1.5)式,可以写成如下

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由(1.1)可知:

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由(1.2)可知

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因此n为偶数时(1.5)成立。

一下子就搞定了一半的自然数,是不是感觉很容易!!

如果n为4的倍数时,不妨假设:n=4m,则(1.5)式,可以写成如下

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由(1.3)可知。

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其实只须考虑 n 为素数 p 的情形。

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因为若(2.5)式成立则:

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也必成立,其中 m 为大于 1 的整数。

相当只要解决非常少部分的整数了!

而对于4k-1型数易证(2.5)式成立。因为:

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而每一个埃及分数均可以由(1.1)(1.2)的方式分解成两个埃极分数的和.

所以对于4k-1型素数,(2.5)成立。

这样我们又解决了一半素数了。

因为同样对于6k-1型素数易证(2.5)式成立,因为:

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所以对于6k-1型素数,(2.5)成立。

还可以证明8k-3型素数也使(2.5)式成立,因为:

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所以对于8k-3型素数,(2.5)成立。

不难证明对于40k+17与40k-7型素数,也使(2.5)式成立。

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综上好像问题快要解决了!其实不然,古人云:行百里者半九十!虽然由(2.7)(2.8)(2.9)(2.10)(2.11)我们已经找到了使(2.5)成立的一些通解。那么问题来了!这些通解能覆盖所有素数吗?


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