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极坐标系下的奇妙曲线图像

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-18 15:07:31 44 0 坐标

极坐标系下的奇妙曲线图像

[遇见数学翻译小组] 作者: 刘雄威, 一个数学爱好者,希望为数学科普工作做更多贡献,欢迎纠错或讨论.

大多数人都熟悉笛卡尔坐标系,它将平面上的每个点分配给两个坐标。要查找p(x0,y0)需从起点(0,0)开始,沿横轴走x0个单位距离和沿纵轴走y0个单位距离(见下左图)。

极坐标系下的奇妙曲线图像

笛卡尔坐标系 vs. 极坐标系

但还有另一种坐标系也非常好,它用于飞机的定位。对于每个点p分配一个数对(r,θ),其中r是原点(0,0)沿直线到p的距离,θ是从 x轴的正半轴逆时针旋转至原点与p点所连成的径向线所夹的角度。这些新坐标称为极坐标,之所以这么命名,是因为我们将轴的交叉点视为所有事物从中辐射出来的极点(见上右图)。

极坐标系下的奇妙曲线图像

如何在极坐标系中表示出简单的图形?从上面的交互性可以看出,以(0,0)为端点的射线图形由θ值唯一确定,例如,y轴的正半轴由以下方程表示

θ=/2=1.5707…

以及夹于x轴的正半轴和y轴的正半轴中间位置的射线由以下方程表示

θ=/4=0.7853…

一般来说,方程

极坐标系下的奇妙曲线图像

描述以(0,0)为端点,与x正轴的夹角为θ0的射线。

那么如何用极坐标系来表示圆形呢?我们知道以(0,0)为圆心、r0为半径的圆,其所有点都落在距离(0,0)有r0个单位的位置上。因此,我们可以用以下方程来描述极坐标系中的圆

极坐标系下的奇妙曲线图像

此表达式比笛卡尔坐标系中的圆的方程简单得多,即

极坐标系下的奇妙曲线图像

然而描述不穿过点(0,0)的直线和不以(0,0)为圆心的圆的极坐标方程比其笛卡尔坐标方程复杂但也有一些图形,其表达式使用极坐标方程比使用笛卡尔坐标方程要简单得多。以下是我们最喜欢的三个例子。

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阿基米德螺旋

让我们来画出这个极坐标方程对应的图像

r=θ

换句话说,我们要寻找的是满足极坐标为(θ,θ)的所有点,以观察它所形成的图像是什么样的。

下图表示当θ值从0变化到2时对应的图像。在图像上每个点的极坐标皆为(θ,θ),可以看出随着θ值的"增加",点的位置也逐渐远离(0,0)。

极坐标系下的奇妙曲线图像

于是我们有了一个螺旋的雏形!

但为什么要停在θ=2呢?我们可以继续转动径向线使图像超过一个整圈(θ>2)、转过一圈半(θ=3)、两圈(θ=4),以此不断增加一圈又一圈。然后,我们便可看到随着图像从θ=2转动到θ=4,点p(θ,θ)到原点(0,0)的距离会逐渐增加,从2到4,让θ从4增加到6,则可以看到图像上的点距离原点越来越远。下图表示了θ从0到20的图像。

极坐标系下的奇妙曲线图像

使θ一直增加到无穷大,会得到一个以(0,0)为中心的无数圈的螺旋:

这个美妙的形状被称为以伟大的希腊数学家的名字命名,他在公元前三世纪发现了它。从图片中可以看出,螺旋的循环间隔均匀:如果以(0,0)为端点画一条射线(即径向线),则可以看到螺旋上的任意两个连续交点之间的距离始终为2。

还有其他类型的阿基米德螺旋,其特征是螺旋与径向线的连续交点之间的间隔始终相等。它们可以归纳为以下方程

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其中a为正实数。使a值不断变化,您便可以看出,a值决定了螺旋的紧密程度,因此,a值也决定了螺旋与径向线的连续交点之间的间隔。下图分别为a=2与a=0.5的对应图像。

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如果您更喜欢物理解释,那么当您追踪从中心向外出发且以恒定角速度移动的点的路径时,您也会得到阿基米德螺旋。

对数螺旋

现在,让我们来看看下述方程的图像

极坐标系下的奇妙曲线图像

其中e是自然常数,e=2.71828…

当θ=0时,我们得到

极坐标系下的奇妙曲线图像

因此,我们的形状包含具有极坐标的点(1,0) (其笛卡尔坐标恰好也是(1,0))。下图表示θ值从0到2对应的图像。每个点p对应的坐标为(e^(θ/10),θ)。这里我们再次看到了螺旋的雏形,但这次有所不同。

极坐标系下的奇妙曲线图像

同样地,我们使θ从2增加至4、6等不断递增。然而,这一次螺旋的循环没有均匀地间隔。

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这是的一个例子。它之所以称为对数螺旋,是因为其表达式

极坐标系下的奇妙曲线图像

也可以表示为

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其中ln是以自然常数e为底数的自然对数。

(还有一种更一般的对数螺旋形式,其表达式为r=ae^(bθ)其中a和b都是正实数。)

但这里还有另一种玩法:我们可以令角度值θ变成负数!要查找第二极坐标(即θ坐标)为负值的点,您需要从x正轴开始朝另一个方向度量角度:即顺时针方向。例如,具有极坐标(r,- /2)的点位于y轴的负半轴。

这对于对数螺旋意味着什么?当θ值从0到-∞变化时,图像上的螺旋线将以顺时针旋转一、二、三乃至无数圈。作螺旋线,其点p对应的坐标为

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但现在随着θ不断减小趋向-∞,螺旋线也不断向内部移动,趋近于(0,0),这是因为

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所以如果随着x减小且趋于-∞,那么e-x会不断增大且趋于+∞,所以1/e-x是正值,且趋近于0。

下图显示了当θ不断减小至-10时,点 p 的分布情况。

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让θ值从-∞变化+∞,就会产生一个双向无限的螺旋,它既没有起点,也没有终点。

极坐标系下的奇妙曲线图像

完全对数螺旋

但请注意。正如您从图像中所见,这张图片看起来和上面的图片的差不多,即使这里的 x 轴和 y 轴覆盖的范围要小得多。这表明了对数螺旋的一个非常有意思的特点。如果使对数螺旋的图片放大或缩小,那么你看到的图片将会看起来与放缩前完全一样,该特性称为自相似性。这可能是对数螺旋在自然界中如此普遍的原因。你可以在蜗牛壳的漩涡和许多植物,甚至在螺旋星系的螺旋臂中看到它们。

17世纪的数学家被这个美丽的形状迷住了,他称之为"spiral mirabilis"(奇迹般的螺旋),并要求把它刻在他的墓碑上,并附以颂词"纵然变化,依然故我"。不幸的是,雕刻师弄错了,他最终在他的坟墓上雕刻的是阿基米德螺旋而不是对数螺旋。

极地玫瑰

我们要介绍的最后一个图形,或者更确切地说,最后一组图形,让我们先从这个方程开始r=|sinθ|, ( || 符号代表绝对值,因此r恒为正值)

要了解这个方程,让我们先复习一下正弦函数的图像,下图是横轴对应θ值而纵轴对应sinθ值时的图像变化情况:

极坐标系下的奇妙曲线图像

加上绝对值意味着,图像中横轴以下的部分(该部分sinθ为负值)应该翻折到横轴以上的位置:

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您可以看到,当θ从0升到时,|sinθ|从0上升到最大值1(在θ=/2处),然后下降到0(在θ=处)。

现在,让我们回到极坐标。当θ从0变化到时,原点(0,0)到点p

p=(|sinθ|,θ)

的距离从0(在θ=0处)变化到 1 (在θ=/2处),然后回到0(在θ=处),这将在极坐标系的上半平面画出一个小圆圈。然后,当θ从变化到2时,|sinθ|值也跟上述变化相同,这将在极坐标系的下半平面画出一个小圆圈。

极坐标系下的奇妙曲线图像

现在,让游戏变得复杂些,并观察这个方程

r=|sin2θ|

新的因数2意味着上述图中的出现的两个圆圈的范围从θ=0到θ=2变成现在只出现在θ=0到θ=。即两个圆圈都出现在上半平面上,因此变得有点拥挤。当θ从移动到2时,2θ的值也从2变到4,函数的值是周期性的(θ+2具有与θ相同的函数值),现在我们一对圆圈的镜像也出现在下半平面中:

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我们有一朵有四瓣的花!

那么这个方程会发生什么 r=|sinkθ|, k是任意正整数?你猜对了!奖励一朵2k瓣的花,下面我们向您展示k=3和k=10的情形。极坐标所能做的事真是令人惊奇!

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