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「三角学回顾」-图解普林斯顿微积分读本

xiawuyouke 趣味数学故事 2022-02-22 11:26:27 51 0

三角形回顾

2.1 基本知识

弧度又称弪度, 是平面角的单位, 单位弧度定义为圆弧长度等于半径时的圆心角.

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一个完整的圆的弧度是 2 π,所以 2π rad = 360°,1 π rad = 180°, 1∘=π1801∘=π180 rad, 1 rad = 180∘π180∘π(约57.29577951°). 以度数表示的角度,把数字乘以 π180π180 便转换成弧度;以弧度表示的角度,乘以 180π180π 便转换成度数, 下面是是一些常用角的度和弧度表达.

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再来回顾下三角函数的内容. 假设有一个直角三角形, 除直角外的一角被记为 θ, 如图下图所示. 那么, 基本公式为

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常用的三角函数值需要牢记下来:

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转出数值的形式:

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2.2 扩展三角函数定义域

单位圆(就是以原点为中心, 半径为1 的圆)上

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所有三个函数在第一象限(I) 中均为正. 在第二象限(II) 中, 只有正弦为正, 其他两个函数均为负. 在第三象限(III) 中, 只有正切为正, 其他两个函数均为负. 最后, 在第四象限(IV) 中, 只有余弦为正, 其他两个函数均为负.

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2.3 三角函数的图像

sin(x) 是周期函数, 其周期为2π, 且为奇函数 - 关于原点对称.

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cos(x) 是周期函数, 其周期为2π, 且为偶函数 - 关于 y 轴对称.

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与正弦函数和余弦函数不同的是, 正切函数有垂直渐近线. 此外, 它的周期是 π, 而不是 2π . 当 x 是 π2π2 的奇数倍数时, y = tan (x) 有垂直渐近线(因而此处是无定义的). 此外, 图像的对称性表明, tan (x) 是x 的奇函数.

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余下三个三角函数图像:

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2.4 三角恒等式

来回顾下三角函数之间的关系, 首先是正切和余切由正弦和余弦:

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最重要的恒等式 - 毕达哥拉斯三角恒等式(Pythagorean Identities)如下:

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三角函数之间有互余(complementary)的关系, 就是说两个角的和为 π2π2. 我想这里用 3 张图来表示下互余的关系:

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倍角公式:

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对于上述方框公式中的sin (A + B) 和cos (A + B), 令 A = B = x, 我们就会得到另一个有用的结果.

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