2022年1月
-
圆周率 π 的 9 个奇妙事实，你了解几个呢？
每年的 3 月 14 日是圆周率日。在这一天，很多全世界的数学爱好者都会烘烤各种口味的馅饼(pie)以此来庆祝数学中最具代表性的无理数：π。毕竟 3.14 日是一年之中纪念这个重要数学常数的最佳时刻。圆周率(π 或 Pi)是一个圆的周长与直径的比值。它作为无理数，它不能被表示为两个整数的分数，而是一个无穷无尽、永不重复的数。圆的周长略大于其直径的三倍长。但是这个无理数是如何被发现的？经过人们几千年的研究，这个数字还有其他什么秘密吗？从这个数字的古老起源，到它未知的神秘性质，这下面就是关于圆周率 π 的 10 个令人...
-
器蕴数学——元代瓷器中的数学
摘要：瓷器是三维立体的结构，不同的外观长度比例，会影响着瓷器给人的第一感觉。本文将从瓷器结构比例、中心纹饰特征和基础几何图形向装饰纹饰转变的过程，三个角度来讨论元代青花瓷上的数学之美。关键词：元代瓷器 瓷器结构 纹饰数学一、简述元代瓷器中国瓷史源远流长，元瓷则无疑是一抹亮睛之笔。瓷器自元朝开始臻于成熟。青花瓷生产于唐代，兴盛于元代。成熟的青花瓷出现在元代的景德镇，纹饰最大特点是构图丰满，层次多而不乱。元瓷大器富丽雄浑、画风豪放、绘画层次繁多，素雅高洁。元瓷通过浓墨重绘，在花饰细致的热闹中不失清雅干净，亦通过淡描平涂...
-
传染病与网络爆红热点传播背后的数学模型（下）
1631年尼古拉斯·普桑绘制《阿什杜德的瘟疫》在本文的第一部分我们已经熟悉了研究传染病的 SIR 模型(《传染病与网络爆红热点内容传播背后的数学模型》)。我们再来回顾一下，其基本思路很简单，人口被细分为三类：S 类，易感者(Susceptible)：可能会染病的目前尚且健康的人群I 类，染病者(Infectious)：已感染患病且因此成为疾病传播媒介的人群R 类，痊愈者(Recovered)：退出这个疫情场景的人群，或因被治愈或因死亡或因仍处于隔离两位数学家 AG McKendrick 和 WO Kermack 在...
-
他用1和0解决了人类两大难题，他是信息论之父，却渴望做杂耍博士
"The best is yet to come. We ve only scratched the surface. Computers can only do what we tell them now, but it will be different in the future. "——Claude Elwood Shannon一年中总有那么几个日子要拿出来说说。说到计算机鼻祖，我们总是在争论，到底是图灵还是冯·诺伊曼？但还有一个人很少被我们提及，他就是帅到令人发指，成就与牛顿、爱因斯坦...
-
统计学有大用处，利用核密度估计法来进行警务大数据预测犯罪
核密度估计法是一种典型的非参数检验方法。使用核密度估计法可以推导出分布奇特的函数表达式。因此核密度可以被用于处理公共事务或经济领域的小众问题。本小节将要介绍的大数据预测犯罪是一个最经典的现代公共事务案例，这个案例虽然并没有使用过于复杂的算法，但它确实成功解决了公共管理中的难题。《少数派报告》的现实版很久以前，作家们便创造出了为数众多的天才侦探，大侦探福尔摩斯只消看一眼犯罪现场，就能推断出受害者的身份和犯罪嫌疑人的大概特征。后来，野心勃勃的剧作家不再局限于让侦探人物在犯罪发生后再去千里辑凶，转而创作出了《少数派报告》...
-
豆瓣 8.9，这本科普神作让你 10 分钟爱上数学
14 年前，“数学之美”系列文章首载于谷歌黑板报，即获得上百万次点击，凡阅文者，皆叹相见恨晚，大学时痛恨万分的马尔可夫链、矩阵计算，甚至余弦函数等原来如此亲切，自然语言和信息处理怎么这么有趣。14 年后，从系列博客到一本屡获大奖的畅销书，《数学之美》已累计销售 70 余万册，豆瓣评分 8.9，还一举拿下国家图书馆文津奖、中华优秀出版物提名奖等国家级图书大奖。李开复评价《数学之美》：“是给这个社会和年轻人最好的礼物。”作为国内最畅销的科普著作之一，如今《数学之美》再度升级，根据当下最前沿的科技发展，将区块链、量子通信...
-
陈景润是我的偶像
纪念陈景润先生诞辰 87 周年陈景润,福建省福州市仓山区城门镇胪雷村人,1933年5月22日～1996年3月19日数学家陈景润先生离开人间已经二十多年了，依然是我的偶像。中国人知道陈景润，大多是因为徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》。这是四九年以后中国第一篇以知识分子为正面形象的报告文学。而在此以前，知识分子大多数是被嘲笑的对象，一如电影《刘三姐》里的秀才或者《决裂》中讲“马尾巴的功能”的老教授。这是一种很不好的反智思想，迎合着“卑贱者最聪明，高贵者最愚蠢”的论断，用漫画的方式肆意蹂躏知识分子的尊严——不仅在人格和政治...
-
数学的本质常常是简单而直接，能给人以无限的遐想和美感
“数学常常给人以一种深奥和复杂的感觉，但它的本质常常是简单而直接的。……数学的美妙也恰恰在于一个好的方法，常常是最简单明了的方法。因此，我会将‘简单即是美’的思想贯穿全书。” 这是吴军博士在其著作《数学之美》（第二版）（人民邮电出版社，2019）前言中写下的一段话，当我们看完本书后，发现“简单即是美”一语中的。随着数学科学的普及，人们对数学认识的深化以及数学欣赏能力的提高，古希腊数学家普洛克拉斯的名言“哪里有数，哪里就有美”正让越来越多的人产生共鸣。数学中充满美的因素甚多，简单性无疑是数学美的一个最基本内...
-
为什么要懂点统计学？从保费确定到赌场都离不开它提供决策支持
在现代行业当中，统计学有丰富多彩的应用场景，比如说保险问题、赌博问题、抽样调查。通过下面的文章我们将了解统计学体现在实际生活中的重要作用。如何确定保险费用抽样调查是一种最基础的统计理论应用情景，统计学在保险行业、信贷行业的应用要更高深一些，不过，它们都紧密依赖于这样一条结论：当样本足够大时，样本均值将落在总体均值的附近。当样本量趋于无穷时，样本均值与总体均值的差将无限小。比如在测量某栋楼的高度时，可以重复测量多次，取多次测量的均值作为该楼的高度，以尽量消除每次测量时的误差，使结果尽可能接近真实值。再比如歌唱比赛中总...
-
利用杨辉三角形来解释二项式定理
我对二项式定理(Binomial Theorem)的热爱无以言表，它看上去有很多数学符号，但本质上是用组合的方法来解决一个长得可怕的代数问题。尤其在你邂逅美妙的杨辉三角时，就会更感受到的数学不可思议之处。但当第一次遇到它的时候，二形式定理中这些并不熟悉的数学符号可能会让你望而生畏。看下面的整个公式，有求和 ∑ 符号，带有阶乘的组合公式，还有各种指数都在其中。其中从 n 个元素中选取 k 个元素的组合公式为：二项式定理其实是一个二项多项式乘以自己 n 次最后展开得到的结果。下面就是一个抽象展开式，说明如何将二项式相乘...
-
你可能不知道隐藏在杨辉三角形中的 10 个秘密
杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形。在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。杨辉三角的前 10 行写出来如下：杨辉三角的构建在最上面一行的中央写下数字 1第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形随后的每一行，开头...
-
“圆”来如此——关于圆周率 π 的36 个有趣事实
1在所有数学符号之中，圆周率 π 也许是最神秘、最吸引人的了，数学家通常认为 π 是数学中最为重要且最为有趣的常数。2π 是希腊语“周长”（περίμετρος）的开头字母。在数学中符号 π 代表圆周长与其直径的比值。换句话说，π 就是把圆的直径扩张成其周长所需要的倍数。▲ 圆的周长略大于其直径的三倍长。 精确的比例称为 π3因为人们不可能知道 π 的精确值，所以也永远无法测量出一个圆的周长或面积的真正数值结果。π 是一个无理数，这意味着它的数字被认为是随机的顺序排列(至今未能证明)。4圆周率是由古代最伟大的数学家...
-
如果再给一次可以重新学习数学，我该这样来做
❝你会不会想过，有一天突然惊醒，发现自己在高中的课堂上睡了。现在经历的所有其实只是一场梦。阳光照的你脸皱成一团，你告诉同桌你做了一个好长的梦，同桌笑你白痴，让你好好昕课。你发现，现世安，岁月静好，一切都充满巷希望。❞ —— 佚名网友▲ Photo by Yustinus Tjiuwanda on Unsplash但如果再给我们一次可以重新学习数学，应该怎么样做呢？请看下面几位朋友在所参与[遇见] 征集原创留言活动中这个话题的精彩分享。读者 @我想静静 所分享留言毕业已经多年，随着工作深入，我才发现知之甚少。伴随着那...
-
数字真奇妙——简单完美的六和麻烦的七
数字 6 很有意思，有很多简洁、优美的兴致。比方很多人都知道，6 是最小的完全数，也就是说，它的全部“真约数（小于它本身的约数）”的和与积是相等的。而且它的真约数之和、之积恰等于它本身。有人说这是因为上帝在 6 天之内造出了整个世界，而也有说，正是因为 6 是完全数，所以上帝创造世界需要六天。但是６的有意思的性质远不止这些。比如说，对于所谓“费马猜想（现在是费马定理了）”来说， n=6 是第一个无需专门证明即可知 x^n+y^n=z^n 没有正整数解的情况。这是因为只要我们证明了 n=3 没有正整数解，那么 n=6...
-
宇宙的结构：质能与时空的几何联系
▲ 从古希腊原子论到量子力学的物质探寻之旅在科学史上总有一些瞬间，天才的思想者会提出极为大胆的洞见，让回顾历史的旁观者目瞪口呆。1907 年的 11 月的某一天正是这样的一个时间点，这一次的主角就是我们已经多次提到的爱因斯坦。对于爱因斯坦来说，这原本只是稀松平常的一天。彼时爱因斯坦还在伯尔尼的专利局工作，已经被晋升为“二等技术专家”，他后来回忆道： “当时我坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：当一个人自由地下落时，他感觉不到自己的重量。”现在我们已经对各种电影和照片中零重力环境下宇航员的状态习以为常了，因此可能很难...
-
为什么数学中的沟通与写作如此重要
1989 年，美国国家数学教师委员会(NCTM)将数学表达与交流能力确定为校园数学课程和评价标准的五大重要目标之一。将近 30 年来，NCTM 一直建议所有数学水平的学生（包括小学、初中和高中生）进行更多的写作、反思和澄清他们的数学思维，讨论数学想法与论点。他们还建议数学教师努力创造课堂环境，来让学生练习和提高口头和书面表达数学思想的能力。然而遗憾的是，只有少数学生进入大学时，已经具备了数学写作与表达的功底。许多高中毕业生还是欠缺、甚至相当匮乏这样的能力，这些“失败案例”甚是普遍。如何教导学生们正确迈入大学数学之门...
-
置身图灵可计算的世界，探索普适性数学
图灵机的艺术化表示(图自维基)1954 年，图灵在《企鹅科学新闻》上发表了他的最后一篇论文，这篇论文向广大读者传达了数学中可计算性的重要性。但他并没有对自己的图灵机做出太多改进：只有一篇论文将它应用于代数学中的一个可判定问题，完全未涉及新兴的计算机科学。这在数理逻辑上留下了一个缺口，直到 1958 年才被马丁·戴维斯在他的专著《可计算性和不可解性》中系统解决。目前，戴维斯对图灵在 1954 年为阐释“希尔伯特第十问题”——丢番图方程可解性问题所做的略微通俗的工作进行了仿真，在这项工作里图灵对可计算性进行了非常完备的...
-
数字真奇妙——趣谈数字五
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！天气越来越热了，而且临近期末，本文没有什么“硬核”内容，权当让大家放松了。一、文化中无所不在的五刚刚过去端午节又为大家带来一个小小的假期，希望大家都已经休息好并且开始了新的战斗。每年的端午，人们总要考据一番这个节日和屈原、粽子有关的话题，笔者没有那个能力，只是联想到几个和五有关的问题。在中国传统文化中，五是很重要的，比如说五行、五色、五脏、五方、五岳、五金、五爪金龙等等。有时即使和五没有关系的东西，也要硬拉上“五”，比如中国本来是一年四季的，但是有时硬加入一个“长夏...
-
正五边形中的五个有趣的问题
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！正五边形是一种非常重要、也非常美观的图形，本文就谈谈有关正五边形的五个问题，文章中没有把每一点都完全说透，很多只是给出提示，希望大家有兴趣进行研究。文中还列出了多本著作，也希望大家尽可能找到这些书来读。一、正五边形中和黄金比例正五边形最为人所熟知的性质，是其中有很多黄金比例：这可能是人类发现的第一个无理数，比 √2 都早，这么说的理由是据说毕达哥拉斯学派非常喜欢正五边形（五角星），将其作为自己学派的标志，当然会深入研究正五边形的性质。但是，古希腊人证明两个量是否可公...
-
数字真奇妙——四和八的方方面面
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！本来想先和读者闲聊一下 4 和 8 的，但是写完以后发现文章太长了，还是闲话休提，只说正事，下面内容主要和 4 有关，间或有 8。一、算术和代数关于4有个很有意思的等式，即 2＋2=2×2=2²=4，三个不同优先级的式子居然都等于 4，好玩。4还是最小的合数，而且在费马猜想中，n=4 是唯一一个需要单独证明的合数。据说当年费马可能已经证明了n=4的情形，这让他自以为“已经找到了这个命题的真正证明”只是因为“空白太小写不开了”。这个证明用的是费马自创的“无穷下降法”，...
-
冯康——他撒播了计算数学的火种
■ 崔继峰 李偌瑜, 原文《中国科学报》(2020-07-02), [遇见]已获崔继峰老师转载授权.冯康是谁？他没有得到“两弹一星”的奖章，却是推动我国核武器事业发展的幕后英雄；他没有受到刘家峡水电站截流成功后的表彰，却是破解刘家峡大坝应力分析计算难题的中流砥柱；他是著名的有限元方法创始人之一，是中国计算数学研究的奠基人和开拓者。汤涛院士和宁肯先生撰写的《冯康传》，就带着我们走入了冯康这样一位伟大的数学家的生活。与其说这是一部人物传记，不如说这是一部记载着世界数学家故事的百科全书，记载了数学起源之初亚里士多德、欧几...
-
不要惊讶，用纸折就可以轻而易举地解决一个古希腊几何难题
这简直是“化圆为方”（德语中引申为“不可能办到的事”）！你可能听过这句话，而且还可能知道它的出处。那可以追溯至古希腊时代，当时古希腊人尝试将一个圆转化成一个 面积相等的正方形，但没有成功。直到 19 世纪，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了“化圆为方”的这一做法是不可能实现的。在这里，提示一下，这一做法无法实现的主要原因是圆周率（Pi）。将一个角三等分的问题不像“化圆为方”为大众所熟知。用圆规和直尺将一条线段三等分几乎没什么困难，但要把一个角三等分，该怎么做呢？古希腊人也尝试了将角三等分，但也没有成功。大约两千年...
-
数字真奇妙系列：走上复杂之路的三
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！三，往往意味着多，比如“森”“众”都是三个同样部分组成的，代表树多、人多。不同于简单的 1 和 2，从 3 开始，很多事情就开始复杂了。本文只聊和 3 有关的数学。一、没完没了的三角形据说成书于公元前 3 世纪的《几何原本》第一卷的命题 1 就是关于三角形的——以已知线段为边长作正三角形。这个命题虽然简单，但实际上证明过程并不完备，因为其中少了连续性公理——你怎么知道图中的两个圆一定相交呢？用直尺及圆规划出正三角形这本经典著作还包含了关于三角形的大量内容，比如三角形...
-
一本让你尽享数字大餐的小书
万物皆数。—— 毕达哥拉斯自然数是神奇的，越是发现自然数的更多特性，就越是认可克罗内克的名言：上帝创造了自然数，其余一切都是人为。其实古希腊人已发明了数论，数论比算术更进一步，它不限于计算结果，而是探究自然数的性质，只不过那时没有上帝这个概念。尤其是那些小的自然数，自然是人们最感兴趣的。最近翻译出版的《数字乾坤》写了与 1—9 有关的故事，这是一种新颖的写法，其新颖之处还在于，它不局限于算术和数论，还包含几何、拓扑、图论、数值分析、混沌、游戏。《数字乾坤》这个非常恰当的书名，想必花费了译者和编辑不少脑筋吧。《数字乾...
-
发现数学的奇妙力量，解锁看待世界的神奇视角
数学高考都已经过去一周多了，高中毕业好多年的你，肯定早就把高中数学知识忘光了吧？哎呀，真可惜。其实数学是有魔法的，如果你没有早早把数学忘干净，说不定人生会和现在不一样哟。看不懂抽象艺术？可能是数学太差2006年，美国抽象表现主义绘画大师杰克逊·波洛克的作品《1948年第5号》以1.4亿美元的价格售出。在没有接受过艺术训练的旁观者眼里，这幅画就像是几个小孩子握着不同颜色的蜡笔在地上乱画一气。不过，除了专业艺术鉴定人员以外，数学家也有本领验证一件有争议的波洛克作品是真品还是小孩子的涂鸦之作。▲ 1948年第5号(图自维...
-
数学真奇妙系列：漫谈三角形
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！人类研究三角形至少有两千年以上的历史，这种情况下我要讲出新的内容大概不可能，我尽量避免落入俗套，希望对读者有所裨益。一、三角形的特殊性相比于其它多边形，三角形确实有一些特殊之处，比如这是唯一一种没有对角线的多边形，是唯一一种内角和小于外角和的多边形，是唯一的只有平面没有立体的多边形，等等。但三角形最特殊的地方在于，只要确定了其中部分元素就能定下来其余元素，比如我们证明三角形全等的时候就有边角边、边边边、角边角、角角边定理。说到这里我有个疑问：那就是无论欧几里得的《几...
-
奇妙分形：大自然的代码
什么是分形？“分维和分形的设想”最早由本华·曼德博（Benoit B. Mandelbrot）于 1973 年在法兰西学院讲课时提出，但人类在这个概念被提出之前早已发现了分形现象。1904 年，瑞典数学家科赫（Helge von Koch）首次发表了雪花图案的结构—科赫曲线（又称雪花曲线），它被认为是一种数学怪胎，一种奇怪的人工构造（但实际上并不是，自然界中到处都是以分形结构存在着的图形）。分形具有以非整数维[1]形式充填空间的形态特征。以科赫曲线为例，我们既不能说科赫曲线是一维的，也不能说它是二维的，因为无论将它...
-
用数学魔法改变人生：勇敢探索未曾抵达的疆域
科幻小说甚至可以启发我们思考如何与地球以外的其他物种交流。2016 年的科幻片《降临》讲述的是一位语言学家逐渐学会与外星人交流的故事。但是, 关于外星生命是否存在的问题, 数学能给我们一些启示吗?为了寻找外星智能,美国天体物理学家弗兰克·德雷克博士创立了地外文明搜寻计划(SETI)。有趣的是, 就在 20 世纪末, SETI 发布了一个名为“在家搜寻地外文明”(SETI@ home)的计算机程序, 目的是利用个人计算机闲置的计算能力, 帮助该组织完成一些与搜寻外星生命有关的复杂计算。 你可能已经猜到了, 我们全家都...
-
数学故事中的"蛋"和"母鸡"
“问题是数学的心脏”，数学家哈尔莫斯如是说。数学问题历来是数学中最具魅力的部分之一，极端点讲：没有数学问题，也就没有数学这门科学。事实上，任何学科都是在提出和解决一个又一个问题中发展完善起来的。因此，数学问题在一定程度上讲是数学史上许多重要思想的源泉。最典型的论证是大数学家希尔伯特在上世纪初第二届国际数学家代表会议上提出的著名的 23 个数学问题，犹如向数学界吹响了进军数学的甜蜜笛声，在美妙动听的笛声诱惑下，众多的数学家、数学爱好者纷纷把解决 23 个问题作为终身奋斗的目标，义无反顾地跳入了数学的瀚海，为见奇珍、得...
-
数字真奇妙系列：道生一，一生二
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！先和大家聊聊一，然后再聊聊二。一、了不起的一一是自然数的单位。经常有人问，零是不是自然数？答案是，你可以认为它是，也可以认为它不是。因为所谓“自然数”，按现代数学的观点，就是符合“皮亚诺公理”的数，这套公理说，要有一个自然数，每个自然数要有一个后继，不同的自然数的后继不一样……你可以把最开始的那个自然数定为 1 或者 0，这对后面的研究没有什么影响。如果怕产生歧义，那么你可以说明一下——“本书所讲自然数，包括（或者不包括）零”。《数学原理》卷I,第1版,379页关于...
-
普通人如何才能接近理念世界？柏拉图的答案是：学习数学
肉眼凡胎的普通人如何才能接近理念世界？柏拉图的答案是：学习数学。当然，数学的世界本身也还不是理念世界，因为数学的对象还是肉眼可以看到的，比如几何图形、天穹星象……但通过演练数学，你可以被引向理念世界。传说柏拉图学院门口有个牌子，写着"不懂几何者不得入内"。《柏拉图的学院》马赛克镶嵌画-来自庞贝的西米纽斯斯蒂芬斯别墅(图自维基)为什么数学可以达成这样的目标？原因有二：其一，数学知识最接近理念知识所应有的纯粹性。数学的研究对象似乎是可以见到的，但又仿佛不在现实生活中。比如，自然数字 1、2、3，似乎...
-
傅里叶级数——这样"魔法"波形的基本概述与动画解释
作者：[遇见数学翻译小组核心成员] 龙啸或饭团, 严云飞，亚丽让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵(1768 - 1830)给我们留下了上面这句意味深长的名言，以此强烈提醒我们要不断地把与自然的联系作为知识的灵感来源。这句话再恰当不过了，因为无论是从字面上的还是象征意义来看，傅里叶本人最大的贡献——傅里叶级数，都源于他对自然的深入研究。本文所要讲述就是他在数学史上的主要贡献，这来自于对一个自然问题的解答：一块金属板上温度如何随着时间的流逝而变化？ 对板子上的任何一点来说，其温度究竟具体是怎样改变的？想要解开这个问题最后...
-
如何学好线性代数？
本文转自周志成老师博客 ccjou.wordpress.com线性代数是美国数学教授哈尔莫斯(Paul R. Halmos)的专长，他在 26 岁时出版了一本经典教材《有限维向量空间》( Finite-Dimensional Vector Spaces )。哈尔莫斯在回忆录《我要做数学家》( I Want to Be a Mathematician )谈到他第一次学习线性代数的悲惨遭遇[1]：代数课很难，我读得很搓火。…当我说搓火，我是真的生气。Brahana… 不知道如何说清楚，我们的教材是 Bôcher 的书(...
-
初等数论入门：什么是“域”
1. 什么是“域”伽罗瓦提出一种名为“有限域”（finite field，日语将其称为“有限体”）的理论。在为大家做具体介绍之前，我先来讲讲什么是域。我们从上小学开始就不断学习与数有关的知识，想必大家一定已经发现了，学习中接触到的数的种类在逐渐增加。我们最先接触自然数 1, 2, 3, ……，然后是 2/3、3/4 等分数和 1.5、0.04 等小数，再后来又学习了 −2、-5 等负数。接下来会接触到诸如正方形对角线的长度等，像 √2 这样的无理数。无理数无法用分数表示。数自身不断进化，其种类也不断增加。这究竟是为...
-
