几何
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作为图形科学的平面几何｜《几何世界的邀请》
作为图形科学的平面几何平面几何作为图形科学，其研究对象如下图所示，是使用尺子和圆规作出来的图形。描绘图形是图形科学的实验，图形科学的理论用于解释图形现象，例如证明图中P、Q、R 三点在同一条直线上。图形的绘制需要保证正确性，这和在物理学中的实验必须严谨是一样的。平面几何中，一般会把几个基本法则当作公理(Axiom)，根据公理通过论证来推导出各种各样的定理(Theorem)，从而构成一个体系，这叫作建立公理系统(Axiomatic system)。在本章中，我将尝试讲述作为图形科学的平面几何及其严密的公理系统。§1 ...
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欧氏几何如初恋般美好
高一时外出听数学讲座，老师在讲课之前，问了我们一个问题：“你觉得在平面几何中，什么定理最让你觉得神奇？”。下面有说帕普斯定理，有说笛沙格定理，当然毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的呼声也相当高。而老师告诉我们，在他心中，正是那些最简单的事实让他觉得最神奇，比如三角形的五心，他几乎以一种小孩子的语气发问，“为什么三角形的三条角平分线会交于一点？为什么三条中线会交于一点？”那时我突然意识到，使欧氏几何有趣的是，定理本身的简洁，普适和纯粹。无论你在纸上画出怎样形状各异的三角形，它们的内角和总是180度。它就像为柏拉图的理念论...
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欧氏几何是唯一宇宙空间表现形式？三位数学家和他们的几何新世界
本文节选自图灵新知《最后的数学问题》, [遇见] 已获授权许可.18世纪后半叶，一些数学家为“欧几里得几何是唯一一种宇宙空间表现形式”这一思想的葬身之棺钉下了最后一颗钉子。而这一荣誉应当由三位数学家来分享，他们一位来自俄罗斯，一位来自匈牙利，还有一位来自德国。奇异的新世界第一位公开发表论文，从整体上阐述这门全新几何学的人就是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856， 图 6 - 3）。这是一种建立在像马鞍一样的弯曲表面上的几何。在这...
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从“雪花为什么是六边形”到“美术、建筑和哲学中的图形”
学过几何的人，大抵对几何证明深恶痛绝，绕来绕去的图形和线段，简直让人眼花缭乱。当年我上学的时候，虽然对几何比较擅长，证明题至今仍然记得很多，然而，要想将这些技巧和知识转化成教授给学生们的语言，自然还是需要费劲一番脑筋的。我认为，想要攻克它，应当得从图形的本质开始着手。图形的本质是什么？最初人类发现图形的时候，图形其实是从生活中的各种现象中总结出来的。因此，想要弄清图形的本质就应当继续回归到生活中去循迹。而这本书恰巧也是遵循了这个思路，与我的想法不谋而合。只不过，全书是以“雪花为什么是六边形”这个问题进行展开，而我的...
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著写最早几何学集大成之作，欧几里得曾是怎样影响世界的？
几何学是数学中一个基础分支，应用于人类许多领域。我们需要用几何学来测量东西、理解形状，并对我们所居住的这个空间进行度量。但是几何学并不仅限于此：它与人类思想和生活的各个方面都相互作用，许多文化中都有它的发展。首先，让我们看下被称为“几何之父”的人：古希腊数学家欧几里得（Euclid）。欧几里得的工作是我们拥有一种对于几何的系统性方法的最早例子。当你在几何学中做出一般性陈述时，例如毕达哥拉斯定理（勾股定理），您应该证明这个陈述是从你认为是不证自明的陈述中通过逻辑规则推导得到的。2000 年以来，这种欧几里得的系统性方...
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19世纪几何学的革命，非欧几何如何塑造了哲学、科学、文化和艺术
在本文第一部分《著写最早几何学集大成之作，欧几里得曾是怎样影响世界的？》中，我们看到了数个世纪以来古希腊几何学思想是如何浸透在人类思想史之中：从科学、哲学到政治、艺术。然而，19 世纪早期人类迎来了一场几何学革命，人们开始意识到空间并不必然如同古希腊欧几里得暗示的那样。本文中，我们将看到这种觉醒如何塑造了哲学、科学、文化和艺术。欧几里得，椭圆和双曲线几何。仅对于欧几里得几何模型满足平行假设(图自维基)欧几里德的世界在开始之前，让我们来做一个简单的实验：想象一个平面上有一条直线 L 和直线外一点 P，穿过 P 点可作...
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数学中的模式与对称之美——柏拉图立体
规则的柏拉图立体在这个问题中，我们将离开平面， 进入三维空间。你以前肯定听说过柏拉图立体， 正四面体（三角形组成的棱锥体）和正立方体这些规则的立体都属于柏拉图立体。柏拉图立体由规则的多边形组成。例如，正四面体中的等边三角形或者正立方体中的正方形。此外，每个顶点上的棱边数相同。世界上只有 5 种柏拉图立体，命名方式提示了它们各自有几个面 ：正四面体（4 个正三角形组成 4 个面）正六面体（6 个正方形组成 6 个面，即正立方体）正八面体（8 个正三角形组成 8 个面）正十二面体（12 个正五边形组成 12 个面）正二...
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宇宙的结构：质能与时空的几何联系
▲ 从古希腊原子论到量子力学的物质探寻之旅在科学史上总有一些瞬间，天才的思想者会提出极为大胆的洞见，让回顾历史的旁观者目瞪口呆。1907 年的 11 月的某一天正是这样的一个时间点，这一次的主角就是我们已经多次提到的爱因斯坦。对于爱因斯坦来说，这原本只是稀松平常的一天。彼时爱因斯坦还在伯尔尼的专利局工作，已经被晋升为“二等技术专家”，他后来回忆道： “当时我坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：当一个人自由地下落时，他感觉不到自己的重量。”现在我们已经对各种电影和照片中零重力环境下宇航员的状态习以为常了，因此可能很难...
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正五边形中的五个有趣的问题
本文作者刘瑞祥，[遇见数学] 感谢刘老师投稿支持！正五边形是一种非常重要、也非常美观的图形，本文就谈谈有关正五边形的五个问题，文章中没有把每一点都完全说透，很多只是给出提示，希望大家有兴趣进行研究。文中还列出了多本著作，也希望大家尽可能找到这些书来读。一、正五边形中和黄金比例正五边形最为人所熟知的性质，是其中有很多黄金比例：这可能是人类发现的第一个无理数，比 √2 都早，这么说的理由是据说毕达哥拉斯学派非常喜欢正五边形（五角星），将其作为自己学派的标志，当然会深入研究正五边形的性质。但是，古希腊人证明两个量是否可公...
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不要惊讶，用纸折就可以轻而易举地解决一个古希腊几何难题
这简直是“化圆为方”（德语中引申为“不可能办到的事”）！你可能听过这句话，而且还可能知道它的出处。那可以追溯至古希腊时代，当时古希腊人尝试将一个圆转化成一个 面积相等的正方形，但没有成功。直到 19 世纪，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了“化圆为方”的这一做法是不可能实现的。在这里，提示一下，这一做法无法实现的主要原因是圆周率（Pi）。将一个角三等分的问题不像“化圆为方”为大众所熟知。用圆规和直尺将一条线段三等分几乎没什么困难，但要把一个角三等分，该怎么做呢？古希腊人也尝试了将角三等分，但也没有成功。大约两千年...
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数学中的几种“奇怪几何学”
欧几里得几何著名数学家欧几里德被认为是将几何公理化的第一人，他描述了支配这个世界的几何规则，并且基于这些公理来证明定理——这是数学史上最早使用证明的情形之一。欧几里得把这些内容都写在《几何原本》一书中，虽然很可能是对他所处时代几何知识的总结，但依然是有史以来最有影响力的教科书，其逻辑、公理化的方法和严格的证明仍然是数学的基石。▲ 欧几里得平面几何的五条公设欧几里得对现代数学最显着的影响之一是对平行公设的讨论。在第一卷中，欧几里得列出了五个公设，其中第五条就是平行公设，叙述如下：若两条直线都与第三条直线相交，并且在同...
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数学家欧几里得懂几何的故事
数学家欧几里得欧几里得（英文：Euclid；希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—公元前275年），古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。01一天，一群年轻人来到位于雅典城郊外林荫中的柏拉图学园。只见学园的大门紧闭着，门口挂着一块木牌，上面写着：“不懂几何者，不得入内! ”这是当年柏拉图亲自立下的规矩，为的是让学生们知道他对数学的重视，然...
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三、四、五边形的数学奇迹
著名的科学普及和数学普及作家马丁·加德纳(Martin Gardner , 1914-2010) 名下有101本非虚构类书籍，也有一些虚构类的。如果他还活着的话，在今年10月21日会度过101岁生日。在过去25年中，加德纳为科学美国人上极具影响力的“数学游戏”专栏提供了大量的数学问题。这些问题中的大部分题目衍生出了更多的问题，而不是问题的答案。这实际上是件好事。时至今日，“数学游戏”专栏以及它带来的对数学娱乐重要性的认知仍在持续产生着影响，加德纳的读者范围也涵盖了几代人。他的铁杆“粉丝”们依然持续举办着两年一度的邀...
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几何和代数是怎么走到一起的？
当欧氏几何走到了头17 世纪早期，尽管科学在各个领域有了重大突破，但是数学还只有一个几何体系，就是根据古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》创立的经典平面几何体系。这个体系仅适用于由直线和圆组成的图形。这时候的代数，不过是几何的附属品。然而，随着人们对科学的不断深入探索，许多新的奇形怪状的图形相继出现，这些都没有办法通过欧氏几何理论进行分析。比如，为了描述天体运行的轨道，天文学家绘制了椭圆、双曲线、抛物线，其中抛物线也很好地勾勒出炮弹出膛后的运动轨迹；在海上航行时人们常常借助月亮来判定方位，因此人们迫切需要了解月球...
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几何趣味数学题：从平面到立体【认识体积公式】
阿尔法趣味数学网今天给同学们带来一个几何趣味数学题：从平面到立体【认识体积公式】。题目：上题可以改为：在两只边长相同的正方体匣子里分别放着两种球。第一匣每行三球，第二匣每行四球，都正好放平，如果球的材料完全相同，哪一匣重一些？提示：与上题一样，可以设匣子每边长为12厘米。同学们，和阿尔法趣味数学网小编一起解答这道几何趣味数学题：从平面到立体【认识体积公式】。答案与分析：可以列表解答：总体积相等，而材料相同，所以一样重。当然，也可以用简便的办法来做两只匣子每行可容纳的球数之比是4:3。匣是正立方体的，所以画中球数之比...
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生活中的趣味数学故事：生活中的几何图形有哪些
生活中的几何图形有哪些，今天就让阿尔法趣味数学网小编来给同学们带来这个生活中的趣味数学故事：生活中的几何图形有哪些。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。故事适合年级：小学二年级【生活中的趣味数学故事：生活中的几何图形有哪些】趣味小故事： 曾经以为生活是一根线段，简捷而单调，两个端点就是家和学校。每天清晨，在紧张的自行车铃声中，背着书包，跨进学校的大门，开始了一天的学习旅程；傍晚，伴随着“回家”的萨克斯乐声，我收拾起零乱的文具，背着越发沉重的书包回家。 随着年龄的增大，我逐渐知道了...
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数学家趣味小故事：罗巴切夫斯基与非殴几何——非殴几何的重大意义以及对数学发展的影响
非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系，简称为非欧几何，一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何。今天就由阿尔法趣味数学网给同学们带来这个数学家趣味小故事：罗巴切夫斯基与非殴几何——非殴几何的重大意义以及对数学发展的影响。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。故事适合年级：小学一年级，数学启蒙【罗巴切夫斯基与非殴几何】：尼古拉斯•伊万诺维奇•罗巴切夫斯基（1792年12月1日～1856年2月24日），俄罗斯数学家，非欧几何的早期发现人之一。1856年12月24日卒...
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数学家的趣味小故事：数学直角坐标系的建立——笛卡尔
数学直角坐标系的建立是数学家笛卡尔的得意之作。阿尔法趣味数学网今天带来的数学家趣味数学小故事：数学直角坐标系的建立——笛卡尔。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。故事适合年级：小学一年级，数学启蒙【数学直角坐标系的建立——笛卡尔】趣味小故事：直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁。它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形也可以通过代数形式来表达，将先进的代数方法应用于几何学的研究。那么同学们知道坐标系是怎么来的吗？ 传说中有这么一个故事： 有一天，笛卡尔（1596—1...
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古代数学家徐光启与几何学的故事：中国的“几何原本”
《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。那么中国的“几何原本”又是怎么回事呢？今天就由阿尔法趣味数学网给大家带来这个古代数学家徐光启与几何学的故事：中国的“几何原本”。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。学过数学的人都知道它有一门分科叫作“几何学”，然而却不一定知道“几何”这个名称是怎么来的。在我国古代，这门数学分科并不叫“几何”，而是叫作“形学”。那么，是谁首先把“几何”一词作为数学的专业名词来使用的，用它来称呼这门数学分科的呢？他就是是明...
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通过趣味数学段子的学习让孩子在短时间内轻松搞定小学数学概念
学习数学最大的障碍就是对于数学的兴趣，阿尔法趣味数学网今天给同学们带来通过趣味数学段子的学习让孩子在短时间内轻松搞定小学数学概念。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。故事适合年级：小学各年级【通过趣味数学段子的学习让孩子在短时间内轻松搞定小学数学概念】趣味小故事： 看懂这些趣味数学段子，搞定小学数学概念So easy！ 趣味数学段子一：除数 很久前，看到这样一段话： “9对3说，我除了你，还是你； 4对2说，我除了2还是2； 1对0说，我除了你，一切都没有意义； 0...
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生活中的数学故事：喝啤酒中隐藏的几何学？——数学十万个为什么
20 世纪，心理学家 Jean Piaget 曾提出了著名的认知发展理论。他发现，小孩儿明显缺乏对物体体积的认知能力。把缸子里的水倒进一个细杯子里，水位明显上升了，小孩子们便会手舞足蹈地说，哇，水变多了耶！ 不过，实际经验告诉我们，成年人似乎也好不到哪儿去。在感知不同形状的物体体积时，人们似乎有一种天生的障碍。如果用一个横截面积更小的杯子来喝酒，别人或许会真的以为你喝得更多呢！ 细而高的杯子看上去就是大些 问题的关键在于半径与体积的关系上：半径扩大到原来的 n 倍，横截面积会扩大到原来的 n2倍。为了让圆...
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古代几何趣味数学故事：哥尼斯堡的七座桥——一笔画问题
哥尼斯堡的七座桥是经典的一笔画问题。今天就让阿尔法趣味数学网小编来给同学们带来这个古代趣味数学故事：哥尼斯堡的七座桥——一笔画问题？每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为学习小天才。故事适合年级：小学二年级【哥尼斯堡的七座桥——一笔画问题】趣味小故事：现今的加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是一座历史名城。在十八、十九世纪，那里是东普鲁士的首府，曾经诞生和培育过许多伟大的人物。著名的哲学家，古典唯心主义创始人康德，终生没有离开过哥尼斯堡一步！二十世纪最伟大的数学家之一，德国的希尔伯特，也出生于此地。哥城景...
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古代著名图形趣味数学题：将军饮马问题——对称与距离问题
将军饮马问题讲的是古希腊亚历山大里亚城里的一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题，那么阿尔法趣味数学网今天给同学们带来这个古代著名图形趣味数学题：将军饮马问题——对称与距离问题。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为数学小天才。适合年级：小学六年级及以上。题目难度：较高数学题所用到的知识点：距离最短，对称，几何【将军饮马问题——对称与距离问题】趣味数学题目：题目：古希腊一位将军要从A地出发到河边MN处（如下图）去饮马，然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？题目最高耗时：5...
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几何趣味数学题：最大的三角形的面积是最小的三角形的几倍？——认识三角形面积公式
三角形面积公式是小学五年级必学的课程，阿尔法趣味数学网今天给同学们带来这个几何趣味数学题：最大的三角形的面积是最小的三角形的几倍？——认识三角形面积公式。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为数学小天才。适合年级：小学五年级及以上。题目难度：中级数学题所用到的知识点：平面几何，面积，三角形，数学公式，倍数【最大的三角形的面积是最小的三角形的几倍？——认识三角形面积公式】趣味数学题目：题目：如下图：观察下图中的三角形，利用所学的三角形面积公式求最大的三角形的面积是最小的三角形的几倍？题目最高耗时：3...
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几何趣味数学题：是曲线还是直线（易错）？——直线数学错觉题
阿尔法趣味数学网今天给同学们带来这个几何趣味数学题：是曲线还是直线（易错）？——直线数学错觉题。每天10分钟头脑大风暴，开发智力，培养探索能力，让你成为数学小天才。适合年级：小学一年级及以上。题目难度：初级数学题所用到的知识点：平面几何，数学错觉，易错，直线，曲线，观察力，测量【是曲线还是直线（易错）？——直线数学错觉题】趣味数学题目：题目：观察下图，请同学们确定图中的线条是曲线还是直线？题目最高耗时：1分钟。答案与分析：更多图形趣味数学题的文章，可以关注微信公众号：xiawuyouke 或者 下午有课。关键点：...
